量子理想气体(07)：匀强磁场中的电子气
\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\)考虑沿着\(z\)轴外加均匀磁场\(B\), 则电子的能级为 \[ \begin{aligned} E(p_z,n,s)=&\frac{p_z^2}{2m^*}+(n+\frac{1}{2})\frac{eB\hbar}{m^*}+\frac{seB\hbar}{2m} \\ p_z\in\mathbb{R}\qquad &n=0,1,2,\cdots\qquad s=\pm1 \end{aligned} \] 第二项是 Landau 能级, 第三项考虑了自旋引入的能级劈裂, 对于这样一个能级, 简并度为 \[ \bar{G}=\frac{eBA(z)}{h} \] 其中, \(A(z)\)为体系在\(z\)处的横截面积.
巨配分函数对数为 \[ \begin{aligned} \log\Xi&=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dp_zdz}{h}\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{s=\pm1} \frac{eBA(z)}{h}\cdot\log{[1+\exp(-\alpha-\beta E)]} \\&=\frac{eBV}{h^2}\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{s=\pm1}\int_{-\infty}^{+\infty}dp_z\log{[1+\exp(-\alpha-\beta E)]} \end{aligned} \] 令\(x=\beta p_z^2/2m^*\), 则 \[ \begin{aligned} \log\Xi&=\frac{eBV}{h^2}\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{s=\pm1}\int_0^{+\infty}2\cdot\sqrt{\frac{m^*}{2\beta}} x^{-\frac{1}{2}}dx\log{[1+z^*e^{-x}]} \\&= \sqrt{\frac{2\pi m^*}{\beta}}\frac{eBV}{h^2}\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{s=\pm1}f_{3/2}(z^*) \end{aligned} \] 其中, \(z^*=\exp(-\alpha-\beta E_L-\beta E_S)\), \(E_L, E_S\)分别表示轨道和自旋磁矩的能量.
有必要对本节的近似和 notation 作出声明. 采用这样一种近似: 温度远小于 Fermi 温度, 因此满足强简并; 而磁场能级间隙又远小于\(k_BT\), 以至于 Landau 能级也很接近准连续, 但连续性不够强, 需要在积分之外补充几项, 下面很快就会看到.
由于强简并, 后文中的化学势不再采用字母\(\mu\), 而是需要时直接写成\(\varepsilon_F\); \(\mu\)这个符号暂且拿来表示磁矩, 即 Bohr 磁子; 加上标\(^*\)表示质量为有效质量时对应的磁矩: \[ \mu=\frac{e\hbar}{2m}\qquad\mu^*=\frac{e\hbar}{2m^*} \]
Landau 能级求和, Euler-Maclaurin 公式
这里再次引用无穷级数求和的近似公式[1], 称为 Euler-Maclaurin 公式: \[ \sum_{n=0}^{+\infty}a(n)=\int_0^{+\infty}a(x)dx+\frac{a(0)}{2}-\frac{a'(0)}{12}+\cdots \] 待求项\(a(n)\)在本问题中为 \[ f_{3/2}(z^*)=f_{3/2}\left[z_L\exp(-\beta\mu^* B(2n+1))\right] \]
零阶积分近似
Fermi 函数的积分公式为 \[ \int f_m(z)d\log z=f_{m+1}(z)+C \] 对于准连续的\(n\), 有 \[ \begin{aligned} dn&=-\frac{1}{2\beta\mu^* B}d\log\left[\exp(-\beta \mu^* B(2n+1))\right] \\&=-\frac{d\log z^*}{2\beta\mu^* B} \end{aligned} \] 因此 \[ \int_0^{+\infty}f_{3/2}(z^*)dn=-\frac{f_{5/2}(z)}{2\beta\mu^* B}\Bigg|_{z^*=z_L\exp(-\beta\mu^* B)}^{z^*=0}=\frac{1}{2\beta\mu^* B}f_{5/2}\left[z_L\exp(-\beta\mu^*B)\right] \]
一阶修正
\(a(0)/2\)在本问题中相当于 \[ \frac{a(0)}{2}=\frac{1}{2}f_{3/2}(z_L\exp(-\beta\mu^* B)) \]
二阶修正
\(-a'(0)/12\)在本问题中相当于 \[ -\frac{1}{12}\frac{d}{dn}f_{3/2}(z^*)\Bigg|_{n=0}=-\frac{1}{12}\frac{f_{1/2}(z^*)}{z^*}\frac{dz^*}{dn}\Bigg|_{n=0}=\frac{\beta\mu^* B}{6}f_{1/2}\left[z_L\exp(-\beta\mu^*B)\right] \] 总结上述结果, \(n\)的求和的近似计算式为 \[ \sum_{n=0}^{+\infty}f_{3/2}(z^*)=\frac{1}{2\beta\mu^* B}f_{5/2}(z^*)+\frac{1}{2}f_{3/2}(z^*)+\frac{\beta\mu^* B}{6}f_{1/2}(z^*)\Bigg|_{z^*=z_L\exp(-\beta\mu^*B)} \]
自旋求和, 两类磁化率
现在的巨配分函数对数如下 \[ \begin{aligned} \log\Xi&= \frac{V}{\lambda_T^3}\sum_{s=\pm1}f_{5/2}(z^*)+\beta\mu^*Bf_{3/2}(z^*)+\frac{(\beta\mu^* B)^2}{3}f_{1/2}(z^*)\Bigg|_{z^*=z_L\exp(-\beta\mu^*B)} \end{aligned} \]
其中, \(z_L=\exp(-\alpha-s\beta\mu B)\). 再令\(z_S=\exp(-\alpha-\beta\mu^*B)\), 则 \[ \begin{aligned} \log\Xi&= \frac{V}{\lambda_T^3}\sum_{s=\pm1}f_{5/2}(z^*)+\beta\mu^*Bf_{3/2}(z^*)+\frac{(\beta\mu^* B)^2}{3}f_{1/2}(z^*)\Bigg|_{z^*=z_S\exp(-s\beta\mu B)} \end{aligned} \] 下面最好利用科学计算软件计算, 得到 \[ \log\Xi\approx\frac{2N\varepsilon_F}{5k_BT}+\frac{N(3\mu^2-\mu^*{^2})}{4\varepsilon_F k_BT}B^2 \] 系统的磁化率为 \[ \chi=\frac{\partial^2}{\partial B^2}\frac{k_BT}{V}\log\Xi \] 不难看到, 体系的磁性可以分为两类效应, 它们来自不同的物理(以下两公式中的\(n\)为电子数密度):
- Pauli 顺磁性: 来自电子自旋引发的能级劈裂, \(\chi_p=3n\mu^2/2\varepsilon_F\)
- Landau 抗磁性: 来自电子轨道磁矩的能量, \(\chi_l=-n\mu{^*}^2/2\varepsilon_F\)
前者是单纯自旋作用, 磁矩中的质量无需作有效修正; 后者与几何空间中的运动有关, 磁矩中的质量应为有效质量. 对于自由电子, \(\mu^*=\mu\), 整体必然保持顺磁性; 但是对于介质(例如半导体)中的电子, 有效质量\(m^*\)有时可能下降到\(0.05m\)左右, 这时整体磁性体现为抗磁性.
- 经典流体第1节中, 曾用该公式计算分子的转动配分函数 ↩︎