量子理想气体(06)：强简并 Fermi 气体

\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\)公式回顾 \[ \begin{aligned} \log\Xi&=\frac{(2s+1)V}{\lambda_T^3}f_{5/2}(z) \\ N&=\frac{(2s+1)V}{\lambda_T^3}f_{3/2}(z) \\ p&=\frac{(2s+1)k_BT}{\lambda_T^3}f_{5/2}(z) \\ U&=\frac{3k_BT}{2}\frac{(2s+1)V}{\lambda_T^3}f_{5/2}(z) \end{aligned} \]

Sommerfeld 展开

Fermi 函数的定义如下 \[ f_m(z):=\frac{1}{\Gamma(m)}\int_0^{+\infty}\frac{x^{m-1}dx}{z^{-1}e^x+1} \] 弱简并条件下, 可以直接把分式展开, 但强简并时, \(z^{-1}<1\)甚至\(z^{-1}\ll1\), \(z^{-1}e^x\)会经历一个由小量增长到\(1\)再无限增大的过程, 幂级数展开并非对整个过程适用.

更一般地, 可以研究如下积分的近似计算公式 \[ I=\int_0^{+\infty}\frac{h(x)dx}{z^{-1}e^x+1} \] 引入新参量\(x'=x-\log z\), 并把\(I\)的区间拆分为正负两部分 \[ I=\int_{-\log z}^0\frac{h(x'+\log z)dx'}{e^{x'}+1}+\int_0^{+\infty}\frac{h(x'+\log z)dx'}{e^{x'}+1} \] 对于前一项, 令\(x'\rightarrow-x'\), 有 \[ I=\int_0^{\log z}h(\log z-x')\left(1-\frac{1}{e^{x'}+1}\right)dx'+\int_0^{+\infty}\frac{h(x'+\log z)}{e^{x'}+1}dx' \] 整理, 得 \[ I=\int_0^{\log z} h(x')dx' + \int_0^{+\infty} \frac{h(\log z + x') - h(\log z - x')}{e^{x'} + 1}dx' + \int_{\log z}^{+\infty}\frac{h(\log z - x')}{e^{x'} + 1}dx' \] 第三项是高阶项, 可以直接略去. 而第二项分子可以围绕\(\log z\)展开: \[ h(\log z + x') - h(\log z - x')=\sum_{j=1}^{+\infty}\frac{2h^{(2j-1)}(\log z)}{(2j-1)!}x'^{2j - 1} \] 积分为 \[ I=\int_0^{\log z}h(x')dx'+\sum_{j=1}^{+\infty}2f_{2j}(1)h^{(2j-1)}(\log z) \] \(f_{2j}(1)\)是可以用弱简并展开处理的 \[ \begin{aligned} f_{2j}(1)&=\frac{1}{1^{2j}}-\frac{1}{2^{2j}}+\frac{1}{3^{2j}}-\frac{1}{4^{2j}} +\cdots \\&=\left(\frac{1}{1^{2j}}+\frac{1}{2^{2j}}+\frac{1}{3^{2j}}+\frac{1}{4^{2j}} +\cdots\right) -2 \left(\frac{1}{2^{2j}}+\frac{1}{4^{2j}}+\cdots \right) \\&= \zeta(2j)-\frac{2}{2^{2j}}\zeta(2j) \end{aligned} \] 积分前几项为 \[ I=\int_0^{\log z}h(x')dx'+\frac{\pi^2}{6}h'(\log z) + \frac{7\pi^4}{360}h'''(\log z)+\cdots \] 这就是所谓的 Sommerfeld 展开. 对于\(f_m(z)\), 零阶项为 \[ f_m(z)\approx\frac{(\log z)^m}{m!} \]

强简并极限

粒子数的自洽条件为 \[ \begin{aligned} N&=(2s+1)V\left(\frac{2\pi mk_BT}{h^2}\right)^{3/2}\frac{(\mu/k_BT)^{3/2}}{\Gamma(5/2)} \\&= \frac{(2s+1)V}{6\pi^2}\left(\frac{2m\mu}{\hbar^2}\right)^{3/2} \end{aligned} \] 即零温时的化学势(也常记作 Fermi 能 \(\varepsilon_F\))为 \[ \varepsilon_F=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{6\pi^2N}{(2s+1)V}\right)^{2/3} \] 零温下的 Fermion 并不会"冻结"运动或者凝聚, 而是具有显著的动能, \(0\sim\varepsilon_F\)在\(k\)空间中确定了一个 Fermi 球, 单粒子态在球内外均匀分布, 而粒子实际占据的单粒子态是被 Fermi 球包裹的那些态.

压强为 \[ \begin{aligned} p&=\frac{Nk_BT}{V}\frac{f_{5/2}(\log z)}{f_{3/2}(\log z)} \\&=\frac{Nk_BT}{V}\frac{2}{5}\frac{\mu}{k_BT} \\&=\frac{2}{5}\frac{N}{V}\varepsilon_F \end{aligned} \] 既然具有动能, 显然也具备显著的动理压强. 这个压强一般也叫 Fermi 气体的 简并压.

内能为 \[ U=\frac{3}{2}pV=\frac{3}{5}N\varepsilon_F \] 粒子的平均动能为\(3\varepsilon_F/5\).

低温展开

利用低温展开可以类似地计算热力学量. 首先是粒子数自洽条件 \[ N=\frac{(2s+1)V}{6\pi^2}\left(\frac{2m\mu}{\hbar^2}\right)^{3/2}\left[1+\frac{\pi^2}{8}\left(\frac{k_BT}{\mu} \right)^2\right] \] 这个式子确认近似的阶数, 以及相应精度下的化学势. 反解出化学势为 \[ \mu=\varepsilon_F\left[1-\frac{\pi^2}{12}\left(\frac{k_BT}{\varepsilon_F}\right)^2\right] \] 压强和内能为 \[ \begin{aligned} p&=\frac{2N}{5V}\varepsilon_F\left[1+\frac{5\pi^2}{12}\left(\frac{k_BT}{\varepsilon_F}\right)^2\right] \\ U&=\frac{3}{2}pV \end{aligned} \] 因此, 电子气热容的最低阶非零项为 \[ C_V\approx\frac{3}{2}\frac{\partial p}{\partial T}V=\frac{\pi^2}{2}\frac{Nk_B^2T}{\varepsilon_F} \] 通常来说, 金属中的传导电子可以看成理想电子气, Fermi 能\(\varepsilon_F\sim 10^4\text{K}\cdot k_B\), 比室温\(300\text{K}\)高多了, 因此金属中的传导电子可以当作强简并电子气处理, 电子贡献的热容可以用上式计算, 再考虑晶格热容, 则固体低温热容为 \[ C_V\approx Nk_B\left[\frac{\pi^2}{2}\frac{T}{\theta_F}+\frac{12\pi^4}{5}\left(\frac{T}{\theta_D}\right)^3 \right] \] 晶格热容的\(T^3\)律在低温下就生效了, 但电子热容要在极低温(通常\(\lesssim10\text{K}\))才会占主导.