量子理想气体(05)：弱简并 Fermi 气体
\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\)与讨论 Bose 气体的情形类似, 我们假定所研究的理想 Fermi 气体是非相对论性的. 同时, 粒子的平动动能可以看成准连续的, 单粒子态的求和换成积分, \(\text{spin-}s\) Fermion 构成的理想气体的巨配分函数为 \[ \log\Xi=\frac{2(2s+1)V}{\sqrt{\pi}\lambda_T^3}\int_0^{+\infty}\log(1+e^{-\alpha-x})\sqrt{x}dx \] 积分同样可以利用分部积分消去对数 \[ Integral=\frac{2}{3}x^{3/2}\log(1+e^{-\alpha-x})\Bigg|_{0}^{+\infty}+\int_0^{+\infty}\frac{2}{3}x^{3/2}\frac{dx}{e^{\alpha+x}+1} \] 引入所谓的 Fermi 函数 \[ f_m(z):=\frac{1}{\Gamma(m)}\int\frac{x^{m-1}dx}{z^{-1}e^x+1} \] 积分\(Integral=2/3\times\Gamma(5/2)f_{5/2}(z)\), 代入得 \[ \begin{aligned} \log\Xi&=\frac{4(2s+1)V}{3\sqrt{\pi}\lambda_T^3}\Gamma(\frac{5}{2})f_{5/2}(z) \\&= \frac{(2s+1)V}{\lambda_T^3}f_{5/2}(z) \end{aligned} \] 热力学量为
\[ \begin{aligned} N&=\frac{(2s+1)V}{\lambda_T^3}f_{3/2}(z) \\ p&=\frac{(2s+1)k_BT}{\lambda_T^3}f_{5/2}(z) \end{aligned} \]
弱简并展开
首先需要弄清\(f_m(z)\)的单调性和取值范围. 显然, 它是单调递增的, 并且总有 \[ \frac{1}{\Gamma(m)}\int_0^{+\infty}\frac{x^{m-1}dx}{z^{-1}e^x+1}<\frac{1}{\Gamma(m)}\int_0^{+\infty}x^{m-1}ze^{-x}dx=z \] 可见, 对任何有限的\(z\), \(f_m(z)\)不会发散; 同时, \(f_m(z)\)也没有上界(证明从略), 这样, 对于如下粒子数自洽条件 \[ N=(2s+1)V\left(\frac{2\pi mk_BT}{h^2}\right)^{3/2}f_{3/2}(z) \] 任意温度\(T\)总能有对应的唯一解\(z\), 即不会产生类似 B-E 凝聚的现象; 同时, 若温度取遍所有正实数, 则\(z\)也取遍所有正实数.
对于弱简并体系而言, 可以取高温近似, 则相应地\(z\ll1\), 可以考虑围绕\(z=0\)作幂级数展开. 在积分式中, \(z^{-1}e^x>1\)在\(z<1\)时恒成立, 可以对分式展开然后逐项积分, 得到 \[ \begin{aligned} f_m(z)&=\frac{z^1}{1^m}-\frac{z^2}{2^m}+\frac{z^3}{3^m}-\cdots \\&=\sum_{j=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{j+1}}{j^m}z^j \end{aligned} \] 这是 Fermi 函数的弱简并展开. 这样, 就有\(N\)和\(p\)随\(z\)的变化关系, 可以反解出\(z\)和\(N/V\)的关系并代入\(p\). 为了方便, 可以引入新变量 \[ y:=\frac{N\lambda_T^3}{(2s+1)V} \] 然后对粒子数自洽条件的 Fermi 函数保留一定数目的项, 比如到三阶: \[ y=z-\frac{z^2}{2^{3/2}}+\frac{z^3}{3^{3/2}} \] 用待定系数法可以反设出\(z\)关于\(y\)的形式, 然后代入并略去高阶项, 抵消\(1\sim3\)阶项的系数, 得到 \[ z=y + \frac{\sqrt{2}}{4}y^2+\left(\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{9}\right)y^3 \] 代入\(p\), 得到\(p-y\)关系 \[ \frac{pV}{Nk_BT}=1+\frac{1}{2^{5/2}}y-\left(\frac{2}{3^{5/2}} −\frac{1}{8}\right)y^2+\left(\frac{3}{32}+\frac{5}{2^{11/2}}+\frac{3}{6^{3/2}}\right)y^3 \] 第一项是弱简并极限(经典极限), 第二项是量子效应的领头阶, Fermi 气体的量子修正等效为斥力, 这可以很好地被理解为 Pauli 不相容原理的效应.