量子理想气体(03)：黑体辐射
\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\)系综理论求解
考虑一个封闭的恒温空窖, 空窖内有辐射电磁场与空窖的壁达成平衡, 称为黑体辐射系统, 实际上就是光子气系统. 只用热力学也能得到很多性质, 包括所有热力学量之间的依赖, 但是系数因子无法确定. 统计物理能够同时确认两者.
从光子气的角度出发, 只要知道光子的性质就能进行统计处理.
- 光子是 spin-1 boson;
- 光子具有极端相对论形式的色散关系;
- 腔壁在不停地吸收和发射光子, 因此光子气的粒子数不守恒, 这种不守恒导致\(\mu=0\);
- 由于规范对称性, 光子自旋投影只能取\(\pm1\), 无法取\(0\).
由此, 可以对一般的巨配分函数形式进行简化: \[ \begin{aligned} \log\Xi&=-\log(1-e^{-\alpha})\eta(n-\nu)+\frac{\Gamma(n/\nu+1)(\beta A_\nu)^{-n/\nu}V}{\Gamma(n/2+1)(2\sqrt{\pi})^n}g_{n/\nu+1}(z) \\&\Downarrow \alpha\approx0,n=3,\nu=1 \\&=-\log(1-e^{-\alpha})+\frac{\Gamma(4)V}{\Gamma(5/2)(2\sqrt{\pi}\hbar c\beta)^3}\zeta(4) \end{aligned} \] 第一项表示零能, 对于光子气可以直接舍去, 反正它没有变化, 而且还会发散. 考虑自旋自由度为\(2\), 得到 \[ \log\Xi=\frac{8\pi^5 V}{45}\left(\frac{k_BT}{hc}\right)^{3} \] 可以计算内能 \[ U=k_BT^2\frac{\partial\log\Xi}{\partial T}=\frac{8\pi^5k_B^4}{15h^3c^3}T^4V \] 相应地, 能流密度为 \[ J=\frac{c}{4}\frac{U}{V}=\frac{2\pi^5k_B^4}{15h^3c^2} T^4 \] 正是 Stefan-Boltzmann 公式. 压强和熵为 \[ \begin{aligned} p &= \frac{k_BT}{V}\log\Xi=\frac{4\sigma}{3c}T^4 \\ S&=k_BT(\log\Xi+\beta U)=\frac{16\sigma}{3c}T^4V \end{aligned} \]
分布求解
根据 Bose 分布同样可以计算热力学量. 假设单位频率里存在的状态数为\(G(\omega)\), 则对应的实际粒子数为 \[ N(\omega) = \frac{G(\omega)}{\exp(\beta\hbar\omega)-1} \] 其中简并度可以通过\(k\)空间计算. 不失一般性, 考虑位形空间为\(L^3\)立方体[1], 则 \[ k_{x,y,z}=\frac{2\pi n_{x,y,z}}{L}\ ,\ n_{x,y,z}\in\mathbb{Z} \] 即\(k\)空间的态密度(略去自旋)是均匀的, 为 \[ \bar{G}=\frac{V}{(2\pi)^3} \] 因此可以求出用频率表示的态密度 \[ \begin{aligned} G(\omega)d\omega&=2\bar{G}\cdot 4\pi k^2dk \\&\Downarrow \\G(\omega)&= \frac{8\pi\bar{G}}{c^3}\omega^2 \end{aligned} \] 对于实际粒子数分布, 改用\(x=\beta\hbar\omega\)来衡量, 得到 \[ \begin{aligned} N(x)&=\frac{8\pi\bar{G}}{\beta\hbar c^3}\omega^2\cdot\frac{1}{e^x-1} \\&=\frac{8\pi V}{(\beta hc)^3}\cdot\frac{x^2}{e^x-1} \end{aligned} \] 这种分布(或者其频率表示形式)对应的能量密度分布, 通常称为 Planck 公式, 它是由 Planck 最早通过插值法凑出来的. 全频带的能量密度为 \[ u=\frac{8\pi k_BT}{(\beta hc)^3}\int_0^{+\infty}\frac{x^3dx}{e^x-1} \] 积分项恰好是\(\Gamma(4)\zeta(4)\), 具体计算表明, 它和系综解一致.
短波近似, Wien 公式
令\(x\rightarrow+\infty\), 能谱为 \[ u(x)\approx\frac{8\pi k_BT}{(\beta hc)^3}x^3e^{-x} \] 此即 Wien 公式, 它等价于把光子气看成 Boltzmann 分布下的粒子.
长波近似, Rayleigh-Jeans 公式
令\(x\rightarrow0\), 能谱为 \[ u(x)\approx\frac{8\pi k_BT}{(\beta hc)^3}x^2 \] 此即 Rayleigh-Jeans 公式[2]. 它等价于把光子气看成经典的电磁波并运用能均分定理. 它在短波区符合得非常差, 并且全频带积分发散, 史称"紫外灾难".