量子理想气体(02)：强简并和 Bose-Einstein 凝聚

\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\)将上节公式抄录如下 \[ \log\Xi=-\log(1-e^{-\alpha})\eta(n-\nu)+\frac{\Gamma(n/\nu+1)(\beta A_\nu)^{-n/\nu}V}{\Gamma(n/2+1)(2\sqrt{\pi})^n}g_{n/\nu+1}(z) \]

\[ N=\frac{z}{1-z}\eta(n-\nu)+\frac{\Gamma(n/\nu+1)(\beta A_\nu)^{-n/\nu}V}{\Gamma(n/2+1)(2\sqrt{\pi})^n}g_{n/\nu}(z) \]

\[ p=\frac{\Gamma(n/\nu+1)(\beta A_\nu)^{-n/\nu}k_BT}{\Gamma(n/2+1)(2\sqrt{\pi})^n}g_{n/\nu+1}(z) \]

本节我们主要考虑具有经典动能的体系, 即\(\nu=2,A_\nu=\frac{\hbar^2}{2m}\). 代入可得 \[ \begin{aligned} \log\Xi&=-\log(1-e^{-\alpha})\eta(n-2)+\frac{V}{\lambda_T^n}g_{n/2+1}(z) \\ N&=\frac{z}{1-z}\eta(n-2)+\frac{V}{\lambda_T^n}g_{n/2}(z) \\ p&=\frac{k_BT}{\lambda_T^n}g_{n/2+1}(z) \end{aligned} \] 上节表明, \(z\in(0,1]\), 趋于\(0\)是弱简并区域. 当温度慢慢下降时, 为了保证\(N\)守恒, \(z\)会逐渐增大. 直到零温下, \(z=1-N^{-1}\), 相当接近\(1\), 此时弱简并条件明显失效.

\(n\le2\)的情形

\(n\le 2\)时, 阶跃函数取\(0\), 因此 \[ N=\frac{V}{\lambda_T^n}g_{n/2}(z) \] 当\(z\rightarrow 1^-\)时, \(g_{n/2}(z)\rightarrow\zeta(\frac{n}{2})\), 又\(n/2\le1\), 因此发散. 故\(g_{n/2}(z)\)在\((0,1)\)上能取遍正实数, 粒子数自洽条件总能得到满足, 任何时候都不需要考虑基态, 这与上一节的分析一致(只有\(n>\nu\)才需单独写出基态项).

\(n=3\)的情形

此时阶跃函数取\(1\), 从而 \[ N=\frac{z}{1-z}+\frac{V}{\lambda^3_T}g_{3/2}(z) \] 随着温度降低, \(z\)缓慢增大, 但第二项\(g_{3/2}(z)\)必定不超过\(\zeta(\frac{3}{2})\approx2.61238\), 单凭第二项无法满足粒子数的自洽条件, 这时候第一项就是必要的.

最终\(z\)必然是取到\(1^-\)的, \(g_{3/2}(z)\approx\zeta(\frac{3}{2})\), 因此 \[ N_{\epsilon>0}=\frac{V\zeta(\frac{3}{2})}{\lambda_T^3}=N(\frac{T}{T_c})^{\frac{3}{2}} \] 其中, \(T_c\)满足\(n\lambda_{T_c}^3=\zeta(\frac{3}{2})\), 注意这里\(n\)为粒子数密度. 相应地 \[ N_{\epsilon=0}=\frac{z}{1-z}=N\left[1-\left(\frac{T}{T_c}\right)^\frac{3}{2}\right] \] 可见, \(T>T_c\)时, 略去基态项是完全合理的, 只有\(T<T_c\)时, 基态粒子数才能和\(N\)相比拟. 当\(T=0\)时, 所有粒子在动量空间都处于基态, 这种动量空间的凝聚现象, 称作 Bose-Einstein 凝聚(B-E凝聚, BEC). 总结下来, 只有\(n>\nu\)且\(T<T_c\)的 Bose 气体, 需要特地考虑基态项, 并且系统出现 B-E 凝聚, 其它条件下都不会有凝聚发生.

内能与热容

可以基于巨配分函数计算能量 \[ U=-\frac{\partial\log\Xi}{\partial\beta}=-\frac{\partial}{\partial\beta}\frac{V}{\lambda_T^3}g_{5/2}(z) \] 其中仅有\(\lambda_T\propto\beta^\frac{1}{2}\), 得到 \[ U=\frac{3}{2}k_BT\frac{V}{\lambda_T^3}g_{5/2}(z) \] 显然, 它在相变点\(T_c\)是连续的.

凝聚相热容

热容就需要分开计算了. \(T<T_c\)是容易计算的, 因为可以直接取 \[ U=\frac{3}{2}k_BT\frac{V}{\lambda_T^3}\zeta(\frac{5}{2}) \] 因此热容为 \[ C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V=\frac{15}{4}k_B\frac{V}{\lambda_T^3}\zeta(\frac{5}{2}) \] 或者把\(N\)和\(T_c\)代入, 得到 \[ C_V=\frac{15}{4}\frac{\zeta(\frac{5}{2})}{\zeta(\frac{3}{2})}Nk_B\left(\frac{T}{T_c} \right)^\frac{3}{2} \]

正常相热容

正常相热容, 求导时还要考虑到\(z\)的变化. \[ C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V=\frac{15}{4}k_B\frac{V}{\lambda_T^3}g_{5/2}(z)+\frac{3}{2}k_BT\frac{V}{\lambda_T^3}\frac{g_{3/2}(z)}{z}\frac{\partial z}{\partial T} \] \(z\)对温度的偏导数可以通过粒子数自洽条件求解: \[ N=\frac{V}{\lambda_T^3}g_{3/2}(z)\Rightarrow \frac{g_{1/2}(z)}{z}\frac{\partial z}{\partial T}=-\frac{3}{2}\frac{N\lambda_T^3}{VT} \] 消去\(V\)和\(\partial z\)项, 得到 \[ C_V=\frac{15}{4}Nk_B\frac{g_{5/2}(z)}{g_{3/2}(z)}-\frac{9}{4}Nk_B\frac{g_{3/2}(z)}{g_{1/2}(z)} \]

相变类型

对于\(C_V(T>T_c)\)取\(T\rightarrow T_c^+, z\rightarrow1^-\)极限, 考虑到\(1/g_{1/2}(z)\)为\(0\), 得到 \[ C_V=\frac{15}{4}\frac{\zeta(\frac{5}{2})}{\zeta(\frac{3}{2})}Nk_B \] 和\(T<T_c\)结果一致, 说明热容量仍然是连续的. 所以这个相变至少是三级相变. 事实上, 它的确是三级相变, 热容量导数的非连续性证明从略.