量子理想气体(01)：Bose 气体和弱简并

求解巨配分函数对数\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\)

这一节中我们利用 Bose 分布来讨论一般的理想 Bose 气体, 随后计算弱简并情形. 不失一般性, 只考虑 spinless boson, 因为无外场时, 近独立自旋只会在简并度中引入常系数因子. 在这样的前提下, 巨配分函数为 \[ \Xi(T,V,\mu)=\prod_{s}(1-e^{-\alpha-\beta\epsilon_s})^{-1} \] 一般来讲, 色散关系的形式为 power law \[ \epsilon(k)=A_\nu\abs{k}^\nu \] 并且是连续或准连续的能带, 这样就能将求和近似替代为积分. 即 \[ \sum_s\rightarrow\int\frac{Vd^n\vec{p}}{h^n}=\int\frac{2\pi^{\frac{n}{2}} V}{\Gamma(\frac{n}{2})h^n}p^{n-1}dp=\int\frac{(n/\nu)VA_\nu^{-n/\nu}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)(2\sqrt{\pi})^n}\epsilon^{n/\nu-1}d\epsilon \] 其中\(n\)是系统的几何维数, 第一个等号表示动量空间的角坐标积分完毕, 第二个等号代入了色散关系.

然而, 并不能简单地直接替换, 原因是一旦\(n>\nu\), 积分便会筛去零能. 如果\(\epsilon=0\)上粒子数很少或者在准连续分布的意义下为\(0\), 那筛去零能是无所谓的; 反之, 如果基态粒子数和总粒子数能够比拟, 略去基态项是不正确的. 我们事先并不知道是哪种情况, 先予以保留, 得到 \[ \log\Xi=-\log(1-e^{-\alpha})\eta(n-\nu)-\frac{(n/\nu)VA_\nu^{-n/\nu}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)(2\sqrt{\pi})^n}\int_0^{+\infty}\log(1-e^{-\alpha-\beta\epsilon})\epsilon^{n/\nu-1}d\epsilon \]

其中, \(\eta\)是 Heaviside 阶跃函数, 对于正自变量取\(1\), 其余取\(0\).

Bose 函数

下面重点研究积分项. 引入活度\(z=e^{-\alpha}\), 无量纲能量\(x=\beta\epsilon\). 有 \[ Integral=\beta^{-n/\nu}\int_0^{+\infty}\log(1-ze^{-x})x^{n/\nu-1}dx \] 如果不喜欢处理对数函数, 可以利用分部积分消去之, 给出 \[ \beta^{n/\nu}Integral=\frac{\nu}{n}\log(1-ze^{-x})x^{n/\nu}\Bigg|_0^{+\infty}-\frac{\nu}{n}\int_0^{+\infty}\frac{x^{n/\nu}dx}{z^{-1}e^x-1} \] 第一项, \(x=0\)时自然为\(0\); \(x\gg1\)时, 近似为\(x^{n/\nu}e^{-x}\), 也收敛到\(0\).

对于第二项, 引入所谓的 Bose 函数 \[ g_m(z):=\frac{1}{\Gamma(m)}\int_0^{+\infty}\frac{x^{m-1}dx}{z^{-1}e^x-1} \] 则积分重写为 \[ Integral = -\frac{\nu\Gamma(\frac{n}{\nu}+1)}{n}\beta^{-n/\nu}g_{n/\nu+1}(z) \] 很显然, \(g_m(1)=\zeta(m)\), 给出 Riemann Zeta 函数; 另外, 它还具有如下性质 \[ \begin{aligned} g_{m+1}'(z)&=\int_0^{+\infty}\frac{x^{m}e^xdx}{z^2\Gamma(m+1)(z^{-1}e^x-1)^2} \\&=\int_0^{+\infty}\frac{x^{m}z^{-1}d(z^{-1}e^x-1)}{\Gamma(m+1)(z^{-1}e^x-1)^2} \\&=-\frac{z^{-1}x^m}{\Gamma(m+1)(z^{-1}e^x-1)}\Bigg|_0^{+\infty}+\frac{1}{\Gamma(m+1)}\int_0^{+\infty}\frac{z^{-1}d(x^m)}{z^{-1}e^x-1} \end{aligned} \] 第一项仍为\(0\), 第二项是\(z^{-1}g_m(z)\), 因此 \[ g'_{m+1}(z)=z^{-1}g_m(z) \]

热力学函数

回到巨配分函数对数, 用 Bose 函数可以重写为 \[ \begin{aligned} \log\Xi&=-\log(1-e^{-\alpha})\eta(n-\nu)+\frac{(n/\nu)VA_\nu^{-n/\nu}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)(2\sqrt{\pi})^n}\frac{\nu\Gamma(\frac{n}{\nu}+1)}{n}\beta^{-n/\nu}g_{n/\nu+1}(z) \\&=-\log(1-e^{-\alpha})\eta(n-\nu)+\frac{\Gamma(n/\nu+1)(\beta A_\nu)^{-n/\nu}V}{\Gamma(n/2+1)(2\sqrt{\pi})^n}g_{n/\nu+1}(z) \end{aligned} \] 给出 \[ N=-\frac{\partial\log\Xi}{\partial\alpha}=\frac{z}{1-z}\eta(n-\nu)+\frac{\Gamma(n/\nu+1)(\beta A_\nu)^{-n/\nu}V}{\Gamma(n/2+1)(2\sqrt{\pi})^n}g_{n/\nu}(z) \]

\[ p=k_BT\frac{\partial\log\Xi}{\partial V}=\frac{\Gamma(n/\nu+1)(\beta A_\nu)^{-n/\nu}k_BT}{\Gamma(n/2+1)(2\sqrt{\pi})^n}g_{n/\nu+1}(z) \]

首先看\(N\). 对于第二项, \(g_{n/\nu}(z)\)在\(z>1\)时, 定义中的积分具有瑕点\(x=\log z\), 并且会让瑕积分发散, 因此\(z\)总取\((0, 1]\)上的实数.

所谓弱简并情形, 就是指热波长远小于系统尺寸(温度远大于特定值), 并且在无限高温下, Bose 气体预期上和经典理想气体完全一致, 即\(\mu\rightarrow-\infty\), \(z=e^{\beta\mu}\rightarrow0^+\). 因此, 弱简并下, \(z\)应该会取一小量, 即\(z\ll1\). \[ \begin{aligned} \frac{z}{1-z}\approx g_m(z)\approx z\quad(z\ll 1) \\ (\beta A_\nu)^{-n/\nu}V\gg1\quad(T\gg T_c) \end{aligned} \] 这样, 我们总可以略去\(N\)的第一项(特别注意到它不是广延的), 最终给出状态方程 \[ \frac{pV}{Nk_BT}=\frac{g_{n/\nu+1}(z)}{g_{n/\nu}(z)} \] 其中, 活度可以通过\(N\)反解得到, 总之右侧的最低阶为\(1\), 正是经典理想气体.