量子态的系综理论(02)：微正则系综

经典统计中的各态遍历\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\newcommand{\tr}[1]{\text{tr}\left( #1 \right)}\newcommand{\qmean}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}\)

仍然需要从经典统计出发. 在典型的经典测量中, 测量时间远远长于微观散射的时间尺度, 因此, 测量不仅可以看作时间平均, 而且积分上限可以近似为无穷大: \[ \bar{A}(t_0)=\frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} dtdpdq A(p,q)\rho(p,q,t)\qquad (T\to+\infty) \] 对于统计物理研究的对象, 精确计算时间积分往往是很困难的, 为此, 往往构造一个 系综平均(ensemble average) 来描述物理量的期望 \[ \qmean{A(t_0)}_{ens}=\int dpdq A(p,q)\rho_{ens}(p,q;t_0) \] 为了使系综平均等价于时间平均, 一种自然的选取方案是 \[ \rho_{ens}(p,q;t_0)=\lim_{T\to+\infty} \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} \rho(p,q,t)dt \] 应该注意到, 初始条件仍显含在\(\rho_{ens}\)中. 给定不同的初始条件(e.g., 围绕\((p_1,q_1)\)点和\((p_2,q_2)\)点的高斯分布), \(\rho_{ens}\)完全可能得出两个不同的结果, 系统因而不存在热平衡态. 为了解决这个问题, 需要\(\rho_{ens}\)满足平稳条件 \[ \frac{\partial\rho_{ens}}{\partial t_0}=\set{H,\rho_{ens}}= 0 \] 平稳的充分条件很容易给出, 如果\(\rho_{ens}(p,q;t_0)\)可以表为只含\(H\)的函数\(f(H)\), 则系统平稳. 另一方面, 如果系统平稳, 那么\(\rho_{ens}\)是动力学守恒量, 那么它只能显含\(H\)了. 可见, 平稳的充要条件为\(\rho_{ens}=f(H)\).

Remark

应该指出, 总动量、总角动量等即便守恒, 也不属于内能的范畴. 动力学守恒量越多, 意味着系统越接近可积系统. 因此在统计力学讨论的典型系统中, 通常假设唯一的动力学守恒量是能量.

\(\rho_{ens}=f(H)\)正好对应于 各态遍历假设(ergodic hypothesis).

Hypothesis 各态遍历假设

一个处于孤立状态的宏观系统, 从几乎任意初态出发, 其相空间的动力学轨迹在足够长的时间内, 会均匀覆盖几乎整个能量曲面, 落在一个子区域的时间占比等于该子区域占能量壳层的体积比.

各态遍历假设或者\(\rho_{ens}=f(E)\)定义了微正则系综(microcanonical ensemble), 即 \[ \rho_{ens}(p,q)=\begin{cases} \displaystyle\left[\Delta E \int dpdq \delta(E-H(p,q)) \right]^{-1} & E<H<E+\Delta E \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \]

孤立量子系统的遍历性与本征态热化

可以通过类比给出孤立量子系统的微正则系综形式. 经典系统不存在额外守恒量等价于量子系统的 Hamiltonian 严格非简并. 从而密度算符为 \[ \hat{\rho}_{ens}(E)=\frac{1}{\Omega(E)}[\theta(\hat{H}-E) - \theta(\hat{H}-E-\Delta E)] \] 其中\(\Omega(E)\)是能壳体积, \(\theta\)是 Heaviside 阶跃函数.

Remark

对于算符而言, 其阶跃函数的结果可以用谱分解表示 \[ \theta(\hat{H}-E)=\sum_{n}\theta(E_n-E)\ket{n}\bra{n} \]

可以验证, 推广而来的系综密度算符仍具有等概率意义, 系统会等概率地处于能量在能壳中的那些本征态.

现在的问题在于, 这样的热化混态无法通过幺正演化从纯态得到. 考虑态和密度算符分别为 \[ \ket{\psi(t)}=\sum_n C_n e^{-iE_nt} \ket{n}\quad \hat{\rho}(t)=\sum_{m,n}C_n C_m^* e^{i(E_m-E_n)t}\ket{n}\bra{m} \] 即便将非对角元通过相位平均消去, 得到的结果为\(\hat{\rho}(t)=\sum_{n}|C_n|^2 \ket{n}\bra{n}\), 它并不满足等概率假设. 这个态并不是热化后的态.

如果换成可观测量呢? 对于可观测量\(\hat{A}\), 其期望的时间平均为 \[ \overline{\bra{\psi(t)}\hat{A}\ket{\psi(t)}}=\sum_n |C_n|^2 A_{nn} + \sum_{m\neq n}C_n C_m^* A_{mn} \overline{\exp(i(E_m-E_n)t)} \] 将复指数项的平均取为\(0\), 只剩下对角项. 如果希望上述结果回到微正则系综的系综平均, 则 \[ \sum_n |C_n|^2 A_{nn} = \tr{\hat{\rho}_{ens}(E) \hat{A}} \] 所谓的 本征态热化假设(eigenstate thermalization hypothesis, ETH) 就是假设每个本征态的矩阵元都能独自体现出热化的性质, 即\(A_{nn}=\tr{\hat{\rho}_{ens}(E_n)\hat{A}}\), 即使能量本征态\(\ket{n}\)单独出现, 不发生态叠加或者态混合, \(\hat{A}\)的期望仍能给出其在相应能量\(E_n\)的微正则系综下的系综平均值. 下面用更严格的语言叙述 ETH:

Hypothesis 本征态热化假设

考虑一个孤立且量子混沌(不可积)的多体系统, 其 Hamiltonian 为\(\hat{H}\)且严格非简并, 本征态为\(\ket{n}\), 对应能量本征值为\(E_n\). 若该系统满足 ETH, 则对于任意局域可观测量\(\hat{A}\), 在热力学极限下(粒子数趋于无穷大), 其矩阵元\(A_{mn}\)可以表为如下形式[1]. \[ A_{mn}=\mathcal{O}(\bar{E})\delta_{mn} + e^{-S(\bar{E})/2} f(\bar{E},\omega) R_{mn} \] 其中, \(\bar{E}=(E_m+E_n)/2\); \(\mathcal{O}(\bar{E}) = \tr{\hat{\rho}_{ens}(\bar{E})\hat{A}}\); \(S(\bar{E})\)为系综的热力学熵; \(f\)是关于其参数的光滑函数, 代表系统的动力学响应特性; \(R_{mn}\)是实或复的随机变量, 均值为\(0\), 方差为\(1\).

  1. 取 Boltzmann 常量和约化 Planck 常量为1的自然单位制. ↩︎