量子动力学(03)：平移和空间反演
本节\(\boxed{\hbar=1}\). \(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\newcommand{\P}{\mathcal{P}}\)
时间平移操作
时间在量子力学中并非力学量. 能量-时间不确定关系为 \[ \Delta E\cdot\Delta t\ge\frac{1}{2} \] 与坐标-动量不确定关系相似, 但它不存在对应的两个算符之间的对易关系; 事实上, 时间在量子力学中被当作参量, 通常出现在(非定态的) Schrodinger 方程中 \[ H\ket{\psi(t)}=i\frac{\partial}{\partial t}\ket{\psi(t)} \] 现在需要考虑怎么把\(t+\tau\)时刻的波函数与\(t\)时刻的波函数相互联系, 一个非常自然的想法是 Taylor 展开: \[ \psi(x,t+\tau)=\sum_{n}\frac{\tau^n}{n!}\psi^{(n)}(x,t) \] \(\psi(x,t)\)只是态矢的坐标表象, 大可以直接用态矢表出 \[ \ket{\psi(t+\tau)}=\sum_{n}\frac{\tau^n}{n!}\frac{\partial^n}{\partial t^n}\ket{\psi(t)} \] 可以把对\(t\)的导数用 Hamiltonian 反代入 \[ \ket{\psi(t+\tau)}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-iH\tau)^n}{n!}\ket{\psi(t)}=\exp(-iH\tau)\ket{\psi(t)} \] 可以定义如下算符
Def 时间演化算符
\[ U(\tau):=\exp(-iH\tau) \]
称作 时间演化算符(time evolution operator).
空间平移操作
类似地, 仿照时间平移, 可以定义空间上的 Taylor 展开 \[ \psi(r+a)=\sum_n\frac{a^n}{n!}\psi^{(n)}(r) \] 需要注意, \(\psi(r+a)=\braket{r+a}{\psi}\), 因此 \[ \bra{r+a}=\sum_n\frac{a^n}{n!}\bra{r}\frac{\partial^n}{\partial r^n}=\sum_n\frac{(ipa)^n}{n!}\bra{r} \] 需要两边取厄密共轭才是右矢, 即 \[ \ket{r+a}=\exp(-ipa)\ket{r} \] 这才完成了把\(r\)处的波包移动到\(r+a\).
Def 空间平移算符
\[ U(a):=\exp(-ipa) \]
称作 空间平移算符.
\(U(\tau)\)和\(U(a)\)具有一系列不证自明的性质, 例如幺正性, 以及结合律, 以及各自群内的交换律.
动量守恒
经典力学告诉我们, 如果 Hamiltonian 不显含某个坐标, 则系统具有相应的平移对称性, 相应的广义动量守恒 \[ \frac{\partial H}{\partial q_j}=0\Leftrightarrow\text{系统在}q_j\text{上平移不变}\Leftrightarrow\dot{p}_j=\frac{\partial p_j}{\partial t}+[p_j,H]=0 \] 量子力学同样给出这种思路. 如果动量和 Hamiltonian 对易(动量对时间偏导数显然也为\(0\)), 则
\(p\)和\(H\)具有共同本征态
存在简并态(\(\ket{E_n}\)和\(U(a)\ket{E_n}\)的能量相同)
简并的存在暗示更高的对称性. 在平移对称操作\(U(a)\)下, 力学量算符的变换(Heisenberg 绘景)为 \[ O\rightarrow U(a)^{-1}OU(a) \] 对于 Hamiltonian, 如果它与\(p\)对易, 则也与\(U(a)\)对易, 因此系统在平移操作下确实不变.
空间反演操作
空间反演算符(宇称算符)\(\P\)的作用是让位置矢量反向 \[ \P\ket{r}=\ket{-r} \] 显然, 对一个位置本征态连续作用两次回到它本身: \[ \P^2\ket{r}=\P\ket{-r}=\ket{r} \] 换句话说, \(\P^2=\mathbb{1}\), \(\P=\P^{-1}=\P^\dagger\). 宇称算符的本征值必定为\(\pm1\), 分别称作偶宇称和奇宇称.
可以考虑算符的变换: \[ \bra{r}\P^{-1}x\P\ket{r}=\bra{-r}x\!\ket{-r}=-r \] 即\(\P^{-1}x\P=-x\), 这种情况仍称算符\(x\)的宇称为奇.
动量算符又如何? 考虑一个变换后的空间平移群元作用到位置本征态上 \[ \P^{-1} e^{-ipa}\P\ket{r}=\P e^{-ipa}\ket{-r}=\P\ket{a-r}=\ket{r-a} \] 即\(\P^{-1}U(a)\P\)的整体作用相当于\(U(-a)=U^\dagger(a)\). 现在考虑无穷小操作, 即\(U(a)\approx1-ipa\), 立即得到 \[ \P^{-1}p\P=-p \] 可见, 动量算符仍是奇宇称的. 我们尚未介绍角动量算符, 但应当提前指出, 矢量形式的力学量算符如果存在经典对应, 那么经典极矢量对应的算符是奇宇称的, 经典轴矢量对应的算符是偶宇称的.
- 类似矩阵的相似变换 ↩︎