角动量理论(05)：Wigner-Eckart 定理
球张量的构造\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\)
球张量算符的定义已经在上节末尾得到了充分证明. 但是, 通常我们所看到的算符是基于不可约张量表象的(甚至是没有被约化的直角坐标张量), 例如\(\vec{x},\vec{p},\vec{J}\)这些矢量算符, 如果在\(\hat{e}_x,\hat{e}_y,\hat{e}_z\)的基底写出分量, 就不是球张量表象. 实际上上节已经给出了类似的方法.
Method 直角坐标矢量算符的球张量化手续
给定一个矢量算符\(\vec{V}\), 它的球张量化手续是 \[ V_1^0=V_z\quad V_{1}^{\pm1}=\frac{\mp V_x-iV_y}{\sqrt{2}} \]
证明略, 实际上就是\(\hat{n}\)和\(Y_1^m(\hat{n})\)的换算. 一个典型的例子是\((L_z,\mp L_{\pm}/\sqrt{2})\), 它们也恰好满足一阶球张量和角动量算符之间的对易关系.
还可以给出任意两个球张量构造新球张量的手续.
Method 两个球张量构造新球张量的手续
给定球张量\(W_{k_1}^{q_1}\)和\(Z_{k_2}^{q_2}\), 它们可以按如下方法构造出新的球张量 \[ Y_k^q=\sum_{q_1,q_2}\begin{bmatrix}k_1&k_2&k\\q_1&q_2&q\end{bmatrix}W_{k_1}^{q_1}Z_{k_2}^{q_2} \] 其中, 新的球张量阶数\(k\)显然不大于\(k_1+k_2\)且不小于\(|k_1-k_2|\), 否则构造得到平庸的零结果.
只需要证明\(Y\)和\(J\)满足球张量应有的对易关系. 首先是最简单的\(J_z\): \[ \begin{aligned}\ [J_z,Y_k^q]&=\sum_{q_1,q_2}\begin{bmatrix}k_1&k_2&k\\q_1&q_2&q\end{bmatrix}([J_z,W_{k_1}^{q_1}]Z_{k_2}^{q_2}+W_{k_1}^{q_1}[J_z,Z_{k_2}^{q_2}]) \\&=\sum_{q_1,q_2}\begin{bmatrix}k_1&k_2&k\\q_1&q_2&q\end{bmatrix}(q_1W_{k_1}^{q_1}Z_{k_2}^{q_2}+q_2W_{k_1}^{q_1}Z_{k_2}^{q_2}) \end{aligned} \] 由于 C-G 系数仅在\(q=q_1+q_2\)的情况下给出非零值, 因此有效的求和项总有\(q_1+q_2=q\), 把\(q\)提出求和项, 即可证明\([J_z,Y_k^q]=qY_k^q\).
然后是更加复杂的\(J_{\pm}\), 记\(j_{\pm}(k,q)=\sqrt{(k\mp q)(k\pm q+1)}\), 得 \[ \begin{aligned}\ [J_\pm,Y_k^q]&=\sum_{q_1,q_2}\begin{bmatrix}k_1&k_2&k\\q_1&q_2&q\end{bmatrix}\left(j_{\pm}(k_1,q_1) W_{k_1}^{q_1\pm1} Z_{k_2}^{q_2}+ j_{\pm}(k_2,q_2) W_{k_1}^{q_1}Z_{k_2}^{q_2\pm1}\right) \end{aligned} \] 把右侧统一写为\(W^{m_1}Z^{m_2}\)的形式, 有 \[ [J_\pm,Y_k^q]=\sum_{m_1,m_2}W_{k_1}^{m_1} Z_{k_2}^{m_2} \left(\begin{bmatrix}k_1&k_2&k\\m_1\mp1&m_2&q\end{bmatrix}j_{\pm}(k_1,m_1\mp1)+\begin{bmatrix}k_1&k_2&k\\m_1&m_2\mp1&q\end{bmatrix}j_{\pm}(k_2,m_2\mp1) \right) \] 这时候必须证明 C-G 系数的递推式, 将升降算符作用于\(\ket{k,q}\), 记\(j_{\pm}(k,q)=\sqrt{(k\mp q)(k\pm q+1)}\) \[ \begin{aligned} J_{\pm}\ket{k,q}&=\sum_{q_1,q_2}\begin{bmatrix}k_1&k_2&k\\q_1&q_2&q\end{bmatrix}J_{\pm}\ket{k_1,q_1;k_2,q_2} \\&\ \!\Downarrow\\ j_{\pm}(k,q) \ket{k,q\pm1}&=\sum_{q_1,q_2}\begin{bmatrix}k_1&k_2&k\\q_1&q_2&q\end{bmatrix}\left(j_{\pm}(k_1,q_1) \ket{q_1\pm1;q_2}+j_{\pm}(k_2,q_2) \ket{q_1;q_2\pm1} \right) \end{aligned} \] 左侧也可以在耦合态上展开 \[ j_{\pm}(k,q)\sum_{q_1',q_2'}\begin{bmatrix}k_1&k_2&k\\q_1'&q_2'&q\pm1\end{bmatrix}\ket{q_1';q_2'}=\sum_{q_1,q_2}\begin{bmatrix}k_1&k_2&k\\q_1&q_2&q\end{bmatrix}\left(j_{\pm}(k_1,q_1) \ket{q_1\pm1;q_2}+j_{\pm}(k_2,q_2) \ket{q_1;q_2\pm1} \right) \] 左右分别挑选出指定\(\ket{m_1;m_2}\)直积态上的系数, 得到 \[ j_{\pm}(k,q)\begin{bmatrix}k_1&k_2&k\\m_1&m_2&q\pm1\end{bmatrix}=j_{\pm}(k_1,m_1\mp1)\begin{bmatrix}k_1&k_2&k\\m_1\mp1&m_2&q\end{bmatrix}+j_{\pm}(k_2,m_2\mp1)\begin{bmatrix}k_1&k_2&k\\m_1&m_2\mp1&q\end{bmatrix} \] 这样, 就可以反代回球张量中的式子 \[ [J_{\pm},Y_{k}^q]=\sum_{m_1,m_2}j_{\pm}(k,q)\begin{bmatrix}k_1&k_2&k\\m_1&m_2&q\pm1\end{bmatrix}W_{k_1}^{m_1}Z_{k_2}^{m_2}=j_{\pm}(k,q)Y_k^{q\pm1} \] 至此, 已经证明\(Y\)确实是一个\(k\)阶球张量.
有了这个方法, 就可以构造任意阶的球张量了. 很多时候, 我们需要基于角动量本征态计算\(f(x,y,z)\)的期望, 其中, \(f\)是关于三个直角坐标的\(n\)次多项式, 它的每一项可能分属不同阶的球张量, 需要逐阶向上构造才能弄清它的结构.
Wigner-Eckart 定理及其应用
下面将要介绍一个定理, 它会给出任何球张量的矩阵元满足的关系.
Theorem Wigner-Eckart 定理
角动量本征态写为\(\ket{a,j,m}\)(其中\(a\)是其它自由度, 例如三维问题的径向量子数\(n\)), 则球张量\(Y_k^q\)的矩阵元为 \[ \bra{a',j',m'}Y_k^q\ket{a,j,m}=\frac{\bra{a',j'}|Y|\!\ket{a,j}}{\sqrt{2j+1}}\begin{bmatrix}k&j&j'\\q&m&m'\end{bmatrix} \] 其中, \(\bra{a',j'}|Y|\!\ket{a,j}\)是只与球张量算符和左右矢内量子数有关的系数. 通常我们选取特定的球张量算符, 并且固定\(a,j,a',j',k\)等量, 在全部磁量子数可变的子空间考虑问题, 此时只有磁量子数可变, \(c\)维持为定值.
证明从略, 思路是计算\([J_{\pm},Y_{k}^q]\)的期望, 从而证明\(q\)和\(q\pm1\)项具有相同的比例系数. 这个定理是非常有用的, 下边举出几个示例.
Example 1 \(0\)阶球张量的矩阵元
零阶球张量就是标量算符, 球张量形式不需要特地构造, 就是标量算符本身. 则它的矩阵元为 \[ \bra{a',j',m'}Y_0^0\ket{a,j,m}=\frac{\bra{a',j'}|Y|\!\ket{a,j}}{\sqrt{2j+1}}\begin{bmatrix}0&j&j'\\0&m&m'\end{bmatrix} \] 当且仅当\(j=j',m=m'\)时, 矩阵元取非零. 因此, 标量算符作用于\(\ket{j,m}\), 不会得到不同量子数的角动量本征态; 并且, 当\(m=m'\)一起变动时, \(Y_0^0\)的矩阵元是不变的, 因为后面的 C-G 系数总是为\(1\).
这里的标量算符显然不包括\(L_z\)等矢量算符的分量, 尽管\(L_z\)也有类似性质. 标量算符的一个例子是宇称算符\(\mathcal{P}\), 它作用于\(\ket{j,m}\)给出附加相因子\(\exp(ij\pi)\).
Example 2 \(1\)阶球张量的矩阵元
\(1\)阶球张量可以作类似讨论, 最终非零矩阵元条件为 \[ \abs{j'-j}=1\text{ or }0\quad m'-m=\pm1\text{ or }0 \] 这正是偶极辐射跃迁的选择定则(禁戒\(0\to0\)).
Example 3 投影定理
一些地方(例如微扰论)涉及到\(\bra{j,m}\vec{J}\cdot\vec{V}\ket{j,m}\)的计算, 其中的\(\vec{J}\cdot\vec{V}\)是矢量的点积, 用球张量语言写为 \[ \langle\vec{J}\cdot\vec{V}\rangle_{j,m}=\bra{j,m}J^0V^0-J^{+1}V^{-1}-J^{-1}V^{+1}\ket{j,m} \] 其中, \(J^q,V^q\)都是球张量形式的\(q\)分量. 注意到\(J^0=J_z\), \(J^{\pm1}=\mp J_{\pm}/\sqrt{2}\), 可得 \[ \langle\vec{J}\cdot\vec{V}\rangle_{j,m}=\bra{j,m}mV^0\ket{j,m}+\bra{j,m}\frac{j_{+}(j,m)}{\sqrt{2}}V^{-1}\ket{j,m+1}-\bra{j,m}\frac{j_{-}(j,m)}{\sqrt{2}}V^{+1}\ket{j,m-1} \] 考虑到 W-E 定理, 所有期望值的比例系数都是\(\bra{a',j'}|V|\!\ket{a,j}/\sqrt{2j+1}\), 双线矩阵元前面总的乘数写作\(c_{jm}\), 即\(\langle\vec{J}\cdot\vec{V}\rangle_{j,m}=c_{jm}\bra{a',j'}|V|\!\ket{a,j}\), 其中, \[ c_{jm}=\frac{1}{\sqrt{2j+1}}\left(m\begin{bmatrix} 1&j&j\\0&m&m \end{bmatrix}+\frac{j_+(j,m)}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1&j&j\\-1&m+1&m \end{bmatrix}-\frac{j_-(j,m)}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1&j&j\\1&m-1&m \end{bmatrix} \right) \] 同时, 考虑到\(\vec{J}\cdot\vec{V}\)是个标量算符, 它的矩阵元与磁量子数取值无关, 得到\(c_{jm}=c_j\), 只与\(j\)有关; 另外\(c_j\)和\(V\)的选取也无关, 只需要检查\(c_{jm}\)的具体形式就可以验证了.
基于上述结论, 可以作代换\(\vec{V}\rightarrow\vec{J}\), 一方面有: \(\langle\vec{J}^2\rangle_{j,m}=c_{j}\bra{a',j'}|J|\!\ket{a,j}\); 另一方面, 这个均值本身就很容易计算, 为\(j(j+1)\). 现在, 我们有 \[ \langle\vec{J}\cdot\vec{V}\rangle_{j,m}=j(j+1) \frac{\bra{a',j'}|V|\!\ket{a,j}}{\bra{a',j'}|J|\!\ket{a,j}} \] 为了消去双线矩阵元, 再考虑一阶球张量\(J^q\)和\(V^q\)的 W-E 定理形式, 相除得到 \[ \frac{\bra{j,m'}V^q\ket{j,m}}{\bra{j,m'}J^q\ket{j,m}}= \frac{\bra{a',j'}|V|\!\ket{a,j}}{\bra{a',j'}|J|\!\ket{a,j}} \] 由此, 得到投影定理的最终形式 \[ \boxed{\bra{j,m'}V^q\ket{j,m}=\frac{\langle\vec{J}\cdot\vec{V}\rangle_{j,m}}{j(j+1)}\cdot\bra{j,m'}J^q\ket{j,m}} \]