角动量理论(04)：张量算符

矢量算符 \(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\newcommand{\D}{\mathcal{D}}\)

到目前为止, 已知的矢量算符有: \(\vec{x},\vec{p},\vec{J}\)(角动量包含\(\vec{L}\)和\(\vec{S}\)). 它们的矢量性都来自实空间坐标轴的基矢, 每个分量都是一个标量算符. 当然, 仅有这个性质还不够. 此处定义的矢量算符, 需要在转动这一对称操作下表现出特定的转动行为; 基于无穷小转动, 便可推导矢量算符与转动生成元应当满足的关系: \[ [V_j,J_k]=i\epsilon_{jkl}V_l \] 或者对于有限转动, 表示矩阵为\(R\), 则矢量算符的变换为 \[ V_j'=R_j^kV_k \] 这里的上下标更加符合非欧情况的习惯.

Remark

需要注意的是, 不同的文献、教材和学科对矢量的定义不同. 在电磁学教材中, 人们基于宇称的奇偶性, 将满足上述转动行为的物理量分为极矢量和轴矢量(也叫赝矢量), 但统一归为矢量; 在更严苛的语境下, 由于三维轴矢量实际上是根据同维度下的二阶反对称张量经过 Hodge 对偶得到, 因此宇称和极矢量不同, 只有极矢量被当作矢量. 用更加群论的语言说, 两种定义其实都基于转动行为, 但一个基于\(\text{SO}(3)\)群, 另一个基于包含反演操作的\(\text{O}(3)\)群.

球张量

张量的不可约表示

物理量远不止标量和矢量两类. 有的物理量在转动操作下需要多个转动矩阵来变换, 例如 \[ \tilde{T}_{jk}=\sum_{j',k'}R_j^{j'}R_{k}^{k'}T_{j'k'} \] 以及指标更多的情况. 这些物理量统称为 张量, 指标的数目叫做张量的 秩(也有文献叫作阶). 标量和矢量可以看作秩为\(0\)和\(1\)的张量.

构造高阶张量的常用方法是张量积, 两个矢量的张量积就是常见的并矢. 但是张量积的结果不是一个特定秩的张量, 以并矢为例, 它可以分解为三项 \[ u_jv_k=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{3}\delta_{jk}+\frac{u_jv_k-u_kv_j}{2}+\left(\frac{u_jv_k+u_kv_j}{2}-\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{3}\delta_{jk} \right) \] 分别是迹部分、反对称部分和对称无迹部分^[1]. 转动保迹, 第一项行为上是标量; 第二项可以用 Hodge 对偶构造成\(\vec{u}\times\vec{v}\), 因此行为上是矢量; 第三项行为上只是二阶张量.

Remark

这里仍可以看作两个不可约表示的直积分解为若干项的直和: \[ \D^{(3)}\otimes\D^{(3)}=\bigoplus_{l=0}^{2}\D^{(2l+1)} \] 三个直和项按照上标中的维数, 分别具有\(1,3,5\)个独立分量.

可以看出, 原始的各秩张量自由度为\(3^0,3^1,3^2,\cdots\), 但经过约化, 构成了不可约的\(1,3,5,\cdots\), 自由度恰好是\(2l+1\), 与\(L^2=l(l+1)\)子空间的维数一致, 也和同阶球谐函数的分量数目一致.

不可约张量与球谐函数

下面以\(l=1\)阶为例, 对应的不可约张量为矢量, 而球谐函数为\(Y_1^m\). 把转动算符作用到方向本征态以及角动量本征态上 \[ \ket{\hat{n}'}=\D(R)\ket{\hat{n}}\quad \D(R^{-1})\ket{l,m}=\sum_{m'}\D_{m'm}^{(l)}(R^{-1})\ket{l,m'} \]

角动量一式中用\(\bra{\hat{n}}\)内积, 得到 \[ Y_l^m(\hat{n}')=\sum_{m'}\bra{l,m'}\D(R^{-1}) \ket{l,m} Y_{l}^{m'}(\hat{n}) \] 一个比较简单的例子是, \(\D(R)\)是绕\(z\)轴转动\(\epsilon\)角, 那么球谐函数各自仅仅附加相因子\(e^{-im\epsilon}\). 而矢量\(\hat{n}\)在这种情况下的变换并非如此; 它的\(x,y\)分量之间有耦合. 究其原因, 是\(Y_l^m\)对位矢进行了线性组合:

\[ Y_1^0=\sqrt{\frac{3}{4\pi}} n_z\quad Y_1^{\pm1}=\sqrt{\frac{3}{8\pi}}(\mp n_x-in_y) \] \(\hat{n}\)本身固然具有矢量性, 但矢量形式只对于用正交矩阵\(R\)描述的转动是方便的, 对于转动算符的 \(\text{spin}-j\) 不可约表示\(\D_{m'm}^{(j)}\)描述的转动不甚方便. 为了让态和力学量算符的转动形式更加紧凑, 都能用转动算符的矩阵元统一表述, 可以针对矢量算符定义一个 球面表象: \[ \vec{v}=(v_x,v_y,v_z)\rightarrow|\vec{v}|Y_1^m(\hat{v})\quad m=-1,0,1 \] 这样就十分方便了. 不仅如此, 如果针对高阶球谐函数定义球面表象, 也能构造出\(2\)阶不可约张量的表象, 例如\(|\vec{v}|^2Y_2^m(\hat{v})\), 它具有\(5\)个分量, 相当于\(2\)阶不可约张量\(3\vec{v}\vec{v}-v^2\)的球面表象, 并且按照\(\D^{(2)}\)的不可约表示进行转动变换.

球张量与生成元的对易关系

现在定义球张量算符就是一件十分自然的事情了, 但仍可以基于转动算符在无穷小转动的结果下定义, 因为稍后将看到, 用生成元(角动量)定义的球张量形式十分美观.

从转动算符进行定义, 球张量算符\(Y_l\)具有\(2l+1\)个分量, 并且变换时服从 \[ \tilde{Y}_l^m=\sum_{m'}\bra{l,m'}\D(R^{-1}) \ket{l,m} Y_{l}^{m'} \] 现在取无穷小转动, \(\D(R)\approx\mathbb{1}-i\vec{J}\cdot\hat{n}\epsilon\), 按照生成元的三个分量, 写为 \[ \begin{aligned}\ [\D^\dagger Y\D]^{m分量}&=\sum_{m'}\bra{l,m'}\mathbb{1}+i\vec{J}\cdot\hat{n}\epsilon\ket{l,m}Y_l^{m'} \\&\!\ \Downarrow\\ [\vec{J}\cdot\hat{n},Y_l^m]&=\sum_{m'}\bra{l,m'}\vec{J}\cdot\hat{n}\ket{l,m}Y_l^{m'} \end{aligned} \] 分别取\(\hat{n}\)为三个方向基矢, 稍加整理, 得到基于对易关系的如下定义

Def 球张量算符

一个不可约张量算符具有\(2k+1\)个独立分量, 并且被整理为\(Y_k^{q}(q=-l,-l+1,\cdots,l)\)的形式, 且与角动量算符满足如下对易关系 \[ [J_z,Y_k^q]=kY_k^q\quad [J_{\pm},Y_k^q]=\sqrt{(k\mp q)(k\pm q+1)}Y_k^{q\pm1} \] 则\(Y\)称作 \(k\)阶球张量.

对于\(k=1\)的情形, 可以把\(Y\)取作\(J_z,J_{\pm}\), 对应于九个对易子, 不难验证它们全部满足定义中的对易关系. 此外, 定义中的对易关系出现的系数与\(J_{z,\pm}\)这些算符作用到\(\ket{k,q}\)上得到的系数高度一致, 但是不应认为\([J^2,Y_k^q]\)也会得到类似\(k(k+1)Y_k^q\)的结果; 相反, 这个对易子不存在类似的简洁表达式.

1. 学习过弹性力学和流体力学应当对此熟悉, 对于原始定义的位移张量, 也进行了类似操作 ↩︎