角动量理论(03)：角动量加法

角动量加法在现代物理的所有领域——从原子光谱学到原子核与粒子碰撞都有重要的应用. 此外, 角动量加法提供了基于有限维 Hilbert 空间的两套完备基, 给出了一个很好的阐明态矢在基上变换的机会.

直积态和耦合态\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\newcommand{\D}{\mathcal{D}}\)

现在考虑具有两个角动量算符的量子系统, 例如, 一个电子既在空间中转动, 又当然具有自旋; 再如, 两个无自旋粒子都在定轴转动的两体系统; 又如, 晶格上两个粒子的自旋相互耦合, 构成一个两体系统. 现在的问题是, 能否对于整个系统定义一整个"角动量"算符, 它与两个角动量的关系又是什么?

出于经典力学和矢量叠加的思想, 可以尝试如下定义: \[ \vec{J}:=\vec{J}_1+\vec{J}_2 \] 注意到\(J_1\)和\(J_2\)作用于不同的 Hilbert 空间, 两算符对易. 实际上, 上式是一种对\(\vec{J}_1\otimes\mathbb{1}+\mathbb{1}\otimes\vec{J}_2\)的简写. 现在来验证\(\vec{J}\)是否满足角动量代数 \[ [J_x,J_y]=[J_{1x},J_{1y}]+[J_{2x},J_{2y}]=i(J_{1z}+J_{2z})=iJ_z \] 显然是满足的. 非常有趣的一点是, 如果定义\(\vec{J}'=\vec{J}_1-\vec{J}_2\), 那么 \[ [J_x',J_y']=[J_{1x},J_{1y}]+[J_{2x},J_{2y}]\neq iJ'_z \] 即两个独立角动量的差并不是角动量! 这和\(\vec{J}\)并不矛盾, 虽然\(\vec{J}-\vec{J}_2=\vec{J}_1\)是角动量, 但是这里作差的两个角动量并不是作用于完全独立的 Hilbert 空间的.

现在, 我们有两种方法来表示这个系统的角动量, 一种是\(\ket{j_1,m_1}\otimes\ket{j_2,m_2}\), 这个态矢表示系统处在\(\vec{J}_1\)和\(\vec{J}_2\)的共同本征态上, 称为 直积态; 另一种是直接用\(\vec{J}\)的本征态\(\ket{j,m}\)来描述系统, 称为 耦合态. 显然, \(\vec{J}_{1,2}\)和\(\vec{J}\)不是对易的, 因此任何直积态在耦合态基上一定是叠加态, 反过来亦然. 但\(J_z=J_{1z}+J_{2z}\), 所以在上述对应中, 总有\(m=m_1+m_2\).

直积态非常直观, 如果\(\vec{J}_1,\vec{J}_2\)能够完备地描述这个系统, 则涉及到四个量子数: \(j_1,m_1,j_2,m_2\). 对于耦合的情况, 当然仍需要相同数目的量子数, 否则对应的算符不足以构成力学量完全集. 我们已经具备的量子数是\(j,m\), 对应的\(J^2,J_z\)显然具有共同本征态, 仍需要引入两个算符, 可以从\(J^2_{1,2}\)与\(J_{1z},J_{2z}\)四个中挑选两个, 可以验证, \(J_1^2\)和\(J_2^2\)与已有的算符对易, 所以完备的耦合态由\(j,m,j_1,j_2\)给出, 但后面为了方便, 仍简写为\(\ket{j,m}\), 直积态也可以简写为\(\ket{j_1,m_1;j_2,m_2}\).

现在需要找出两套态之间的变换关系, 对于给定的\(j_1,j_2\), 磁量子数\(m_1,m_2\)允许各自独立的取全部可能的值, 这样, 直积态基的维度为\((2j_1+1)(2j_2+1)\); 而耦合态已经被证明是完备的, 也应该具有这么多维度. 可以证明如下求和: \[ \sum_{j=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2}2j+1=(2j_1+1)(2j_2+1) \] 耦合态的取值条件是: \(j\)和\(j_{1,2}\)满足三角形法则, 而\(m\)对每个固定的\(j\)也取全部可能的值.

两个自旋1/2粒子相加, 单态与三重态

作为一个非常简单的例子, 考虑两个\(s=\frac{1}{2}\)自旋相加, 直积态可以写为形如\(\ket{\uparrow\uparrow}\)的形式. \(j,m\)最大的情形就是该直积态: \[ \ket{1,1}=\ket{\uparrow\uparrow} \] 其它直积态的总磁性\(m\)均小于\(1\), 想构造这个耦合态, 只能取自旋均向上的直积态. 接下来, 作用降算符\(J_-\): \[ J_-\ket{1,1}=\sqrt{(1+1)(1-1+1)}\ket{1,0}=\sqrt{2}\ket{1,0} \] 另一方面, \(J_-=J_{1-}+J_{2-}\), 作用于直积态的结果为 \[ (J_{1-}+J_{2-})\ket{\uparrow\uparrow}=\ket{\uparrow\downarrow}+\ket{\downarrow\uparrow} \] 同理, 再作用一次降算符, 得到 \[ 2\ket{1,-1}=2\ket{\downarrow\downarrow} \] 这个耦合态也可以作为构造出发点, 因为其它任何直积态的总磁性都大于\(-1\).

接下来, 更低的\(j\)就需要考虑了, 但是并没有针对\(j\)的升降算符. 应该这样考虑: 两个耦合态的\(m\)相同, 则它们选用的直积态基矢都满足\(m_1+m_2=m\), 所以一定处于这个直积态子空间. 即: \(\ket{0,0}\)和\(\ket{1,0}\)选用的直积态基矢, 一定都是\(\ket{\uparrow\downarrow}\)和\(\ket{\downarrow\uparrow}\), 并且\(\ket{0,0}\)和\(\ket{1,0}\)一定正交, 所以未知的系数可以通过已知系数推断. \[ \ket{1,0}=\frac{\ket{\uparrow\downarrow}+\ket{\downarrow\uparrow}}{\sqrt{2}}\Rightarrow\ket{0,0}=\frac{\ket{\uparrow\downarrow}-\ket{\downarrow\uparrow}}{\sqrt{2}} \] 这里仍然允许相差一个总相位, 但为了方便, 选取为\(0\). 这样就解出了所有的耦合态在直积表象下的表示. 其中, \(\ket{\uparrow\uparrow},\ket{\downarrow\downarrow},\frac{\ket{\uparrow\downarrow}+\ket{\downarrow\uparrow}}{\sqrt{2}}\)都是\(j=1\)的态, 称为 三重态(triplet); \(\frac{\ket{\uparrow\downarrow}-\ket{\downarrow\uparrow}}{\sqrt{2}}\)是\(j=0\)的态, 称为 单态(singlet).

C-G 系数

\(j_{1,2}\)更大的角动量加法就没有这么简单了, 对于一般的情况, 可以写为 \[ \ket{j,m}=\sum_{m_1,m_2}\begin{bmatrix} j_1&j_2&j\\m_1&m_2&m \end{bmatrix}\ket{j_1,m_1;j_2,m_2} \] 其中的方括号是一个标量系数, 称为 Clebsch-Gordan 系数, 简称 C-G 系数. 这种表示 C-G 系数的方法, 叫做 Wigner 3j 记号.

C-G 系数的作用不仅仅是在两个表象下变换态矢, 也可以变换转动算符的表示. 对于任意转动操作\(\D_\hat{n}(\epsilon)\), 可以基于角动量本征态写出矩阵元 \[ \D_{mm'}^{(j)}(R)=\bra{j,m}\D_{\hat{n}}(\epsilon)\ket{j,m'} \] 则 \[ \D^{(j_1)}_{m_1m_1'}(R)\D^{(j_2)}_{m_2m_2'}(R)=\sum_{j,m,m'}\begin{bmatrix}j_1&j_2&j\\m_1&m_2&m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}j_1&j_2&j\\m_1'&m_2'&m'\end{bmatrix}\D^{(j)}_{mm'}(R) \] 这个公式实际上来自直积分解. \(\D^{(j)}\)是\(\text{SU}(2)\)群的不可约表示, 对于两个作用空间不同的表示\(\D^{(j_1)}\)和\(\D^{(j_2)}\), 直积为\(\D^{(j_1)}\otimes\D^{(j_2)}\), 这个直积是可约的, 能够分解为一系列不可约表示的直和: \[ \D^{(j_1)}\otimes\D^{(j_2)}=\bigoplus_{j=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2}\D^{(j)} \] 具体挑出群元来写, 左边应该是张量积, 即矩阵元指标之间没有任何缩并; 右边是各个直和项的元的矩阵元乘以适当的系数.