角动量理论(02)：自旋角动量
本节介绍自旋角动量. 自旋是一种满足角动量代数但不对应于经典角动量的力学量. 它表现出不同于轨道角动量的性质——允许其量子数取半整数. 基于最简单的自旋1/2系统, 介绍自旋算符和自旋态的转动性质, 引入 Pauli 算符和相应的 SU(2) 转动, 它与轨道角动量的 SO(3) 群都是描述三维转动的有力工具.
自旋角动量\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\newcommand{\D}{\mathcal{D}}\newcommand{\SU}[1]{\text{SU}({ #1})}\)
自旋角动量是此前讨论的普遍的角动量算符\(J\)的另一特殊形式. 一个具有自旋角动量的量子系统, 其自旋不依赖于任何尺度上的定轴或者定点转动, 或者说, 自旋是一种粒子的内禀属性, 不具有任何经典对应, 不应该将它理解为实在发生的转动或者球形粒子绕着自己的某根轴自转.
自旋态同样可以用普遍的角动量本征态\(\ket{j,m}\)为基, 但在纯自旋问题中, 人们更喜欢写成\(\ket{s,s_z}\), 或者干脆就用\(\ket{s_z}\)、\(\ket{+}\)、\(\ket{\uparrow}\)等各类右矢符号, 毕竟自旋是粒子的内禀自由度, 只要粒子本身没有变化(比如衰变、裂变或者聚变以至变成了其它粒子), \(s\)值是不会变的, 只有\(s_z\)会在\(-s\sim s\)上离散地取值.
另外, 自旋态\(\ket{s,s_z}\)并不意味着任何发生在位形空间的自转或者公转, 所以用\(\braket{x}{s,s_z}\)计算某种"自旋波函数"是没有意义的事情. 实际上应该指出, 即便是对于某个特定的粒子, 也应当把轨道部分和自旋部分看作两个不重叠的 Hilbert 空间, \(\ket{\psi}\)应该理解为\(\ket{\phi(\vec{r})}\otimes\chi(\hat{n})\), 其中, \(\chi\)表示自旋态, 无法将它左乘一个位置本征左矢得到某种有意义的"波函数", 因为两者不是同一个子空间的矢量.
总结起来, 自旋和轨道角动量主要有以下区别:
- 自旋是内禀属性, 没有经典对应, 也不意味着粒子在绕着某根轴自转;
- 自旋的角动量量子数\(s\)允许取整数或者半整数, 取决于粒子种类, 而轨道角动量\(l\)只能取整数;
- 自旋\(s\)只和粒子种类有关, 同一种粒子的\(s\)只会取特定值(例如电子的\(s\)一定是\(1/2\)), 而轨道角动量\(l\)可以在自然数之间变化, 或者处于不同\(l\)的叠加态.
自旋1/2系统与 Pauli 算符
具有\(s=\frac{1}{2}\)的粒子(例如电子)具有最简单的自旋态空间. 因为此时, \(s_z\)只能取\(\pm\frac{1}{2}\), 把两种磁量子数分别叫做"自旋向上"态和"自旋向下"态, 则任意自旋态\(\chi\)可以表为 \[ \chi=\alpha\ket{\uparrow}+\beta\ket{\downarrow}\quad |\alpha|^2+|\beta|^2=1 \] 这里的\(\chi\)显然是 Hilbert 空间上的矢量(尽管没有添加ket), 为了方便, 人们也常常将它的系数提出, 写成一个\(2\times1\)矩阵, 称为二分量 旋量(spinor): \[ \chi=\begin{pmatrix} \alpha\\\beta \end{pmatrix} \] 实际上就是把线性空间上的抽象向量在具体的基下写成具体的矩阵表示. 在旋量意义下, 自旋算符同样可以写成具体的矩阵. 不过我们通常不使用\(S\)本身, 而是约去系数
Def Pauli算符
将\(S\)约去\(1/2\)系数(普遍意义下约去\(\hbar/2\)系数), 得到的新算符 \[ \sigma_j:=2S_j \] 称为 Pauli 算符, 它在旋量表示下的矩阵形式叫作 Pauli 矩阵.
可以写出三个 Pauli 矩阵的矩阵元如下 \[ \sigma_x=\begin{bmatrix} 0&1\\1&0 \end{bmatrix}\quad \sigma_y=\begin{bmatrix} 0&-i\\i&0 \end{bmatrix}\quad \sigma_z=\begin{bmatrix} 1&0\\0&-1 \end{bmatrix} \] 矩阵表示有利于计算各种对易子和关系(特别是这种低维旋量空间下), 利用 Pauli 矩阵可以证明 \[ \quad[\sigma_j,\sigma_k]=2\epsilon_{jkl}\sigma_l\quad\{\sigma_j,\sigma_k\}=2\delta_{jk} \]
半整数角动量的转动操作
当然, 半整数自旋时, \(\vec{S}\)(或者 Pauli 矢量算符\(\vec{\sigma}\))仍是纯自旋系统的转动生成元: \[ \D_{\hat{n}}(\epsilon)=\exp(-i\vec{S}\cdot\hat{n}\epsilon)=\exp(-\frac{i\epsilon}{2}\vec{\sigma}\cdot\hat{n}) \] 只是这个转动操作不再是\(\text{SO}(3)\)的群元了. 可以考虑绕\(z\)轴的转动, 则 Heisenberg 表象下, \(S_x\)会随之转动: \[ S_x\rightarrow\D_{z}(\epsilon)^{-1}S_x\D_z(\epsilon)=\exp(i\epsilon S_z)S_x\exp(-i\epsilon S_z) \] 利用 Baker-Hausdorff 公式 \[ \exp(A)B\exp(-A)=B+[A,B]+\frac{[A,[A,B]]}{2!}+\cdots \] 可以得到 \[ \D_{z}(\epsilon)^{-1}S_x\D_z(\epsilon)=\sum_{n}\frac{(i\epsilon)^n}{n!}\overbrace{[S_z,[S_z,\cdots[S_z,S_x]\cdots]]}^{S_z\times n} \] 注意到\([S_z,S_x]=iS_y\), \([S_z,[S_z,S_x]]=S_x\), 因此 \[ \D_{z}(\epsilon)^{-1}S_x\D_z(\epsilon)=\sum_{n}\frac{(i\epsilon)^{2n}}{(2n)!}S_x+\sum_n\frac{(i\epsilon)^{2n+1}}{(2n+1)!}iS_y=S_x\cos\epsilon-S_y\sin\epsilon \] 可见, 在\(s\)为半整数的转动操作下, 矢量算符各个分量的行为和\(\text{SO}(3)\)转动没有差别. 但是把目光投向态矢, 在 Schrodinger 表象下: \[ \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} e^{-i\epsilon/2} & 0\\ 0 & e^{i\epsilon/2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha\\\beta \end{pmatrix} \] 转角\(\epsilon=2\pi\)时, 旋量并未回到本身, 而是附加了一个负号! 只有转角为\(4\pi\)时, 才能得到原来的旋量, 这里是半整数自旋首次迥异于整数自旋的性质.
\(\SU{2}\)转动和\(\text{SO}(3)\)转动
最一般的转动矩阵也不难计算. 考虑\(\vec{\sigma}\cdot\hat{n}\), 则 \[ \vec{\sigma}\cdot\hat{n}=\begin{pmatrix} n_z& n_x-in_y\\ n_x+in_y & -n_z \end{pmatrix} \] 不难得到\((\vec{\sigma}\cdot\hat{n})^2=\mathbb{1}\), 因此 \[ \exp(-\frac{i\epsilon}{2}\vec{\sigma}\cdot\hat{n})=\cos(\frac{\epsilon}{2})\mathbb{1}-i\sin(\frac{\epsilon}{2})\vec{\sigma}\cdot\hat{n} \] 经过验算, 上述矩阵的行列式是\(1\), 因而它是\(\SU{2}\)群的群元, 该群的 Lie 代数生成元为\(\sigma\). 对于轨道角动量\(\vec{L}\)而言, 它恰好是\(\text{SO}(3)\)的 Lie 代数的生成元, 如果把角动量为\(l\)的态写成\(\ket{l,m}\)的叠加态, 相当于一个\(2l+1\)维的向量, 转动算符的不可约表示是一个\((2l+1)\times(2l+1)\)的矩阵.
两种群的区别在于, \(\SU{2}\)群的不可约表示可以取任意阶, \(j\)为整数和半整数时, 矩阵的阶分别是奇数和偶数; 而\(\text{SO}(3)\)群的不可约表示只有可能是奇数阶, 因为\(2l+1\)中的\(l\)只能取整数. 两个群的 Lie 代数是同构的, 但是群之间并不同构, \(\SU{2}\)群是\(\text{SO}(3)\)群的双重覆盖, 即"二对一"的映射关系.