角动量理论(01)：转动与角动量

这一章关注角动量理论和相关论题的系统处理, 在现代物理中角动量理论的重要性怎么强调也不过分. 在分子、原子及核谱学中, 彻底理解角动量是极为重要的; 角动量的考虑不仅在散射和碰撞问题中, 也在柬缚态问题中起着重要的作用.

角动量的无穷小转动定义\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\newcommand{\D}{\mathcal{D}}\newcommand{\SO}[1]{\text{SO}({ #1 })}\)

经典系统和纯几何中, 转动已经被大量研究过. 我们采用物理系统转动、坐标轴不动的约定, 并且本章中总有\(\boxed{\hbar=1}\). 为了方便, 再次取位置本征态来说明这个操作, 尽管位置的转动事实上不能囊括量子力学所有的转动操作, 但这种特殊情况更易懂.

很明显, 单次定轴转动有两个要素: 转轴和转角. 一个绕着\(x\)轴转动\(\epsilon\)角的操作可以这么表示: \[ \D_x(\epsilon)\ket{x,y,z}=\ket{x,y\cos\epsilon-z\sin\epsilon,z\cos\epsilon+y\sin\epsilon} \] 不难用三角函数的性质证明, 在同一根轴上的两次转动操作是对易的, 但不同轴上的两次转动一般不对易. 考虑两个无穷小转动的对易子 \[ [\D_x(\epsilon_1),\D_y(\epsilon_2)]\ket{x,y,z}\approx\D_x(\epsilon_1)\ket{x+z\epsilon_2,y,z-x\epsilon_2}-\D_y(\epsilon_2)\ket{x,y-z\epsilon_1,z+y\epsilon_1} \\\approx \ket{x+z\epsilon_2,y-z\epsilon_1+x\epsilon_1\epsilon_2,z-x\epsilon_2+y\epsilon_1}-\ket{x+z\epsilon_2+y\epsilon_1\epsilon_2,y-z\epsilon_1,z+y\epsilon_1-x\epsilon_2} \] 如果忽略二阶小量, 那么结果可以消去, 两个转动显然是对易的; 从二阶开始, 出现了非对易效应, 两个位置本征态的\(x,y\)坐标不同, 相当于两者相差一个\(z\)轴的转动, 转角为\(\epsilon_1\epsilon_2\). 于是得到 \[ [\D_x(\epsilon_1),\D_y(\epsilon_2)]=\D_z(\epsilon_1\epsilon_2)-\mathbb{1} \] 无穷小转动下, 用生成元考虑问题更加方便, 为此可以给转动生成元取名

Def 角动量

系统在无穷小转动下的生成元, 叫做系统的 角动量, 用\(J\)表示. 三维空间中, 它有三个线性独立的转轴取向, 即 \[ \D_{x,y,z}(\epsilon):=\exp(-iJ_{x,y,z}\epsilon) \]

代入\(\D_x(\epsilon)\approx\mathbb{1}-iJ_x\epsilon\), 有 \[ \boxed{[J_x,J_y]=iJ_z} \] 这是角动量理论中最基本的对易关系, 下标关于\(x,y,z\)轮换对称. 另外, 还可以基于角动量的基本对易关系得到 \[ \begin{aligned} \ [J^2,J_z]&=[J_x^2,J_z]+[J_y^2,J_z] \\&=J_x(-iJ_y)+(-iJ_y)J_x+J_y(iJ_x)+(iJ_x)J_y \\&=0 \end{aligned} \] 可见, \(J^2\)和\(J_z\)两个标量算符具有共同本征态.

轨道角动量

事实上, 可以直接利用已知的算符构造一种满足上述代数结构的新算符. 经典力学中, 角动量是这么定义的: \[ \vec{L}=\vec{x}\times\vec{p} \] 它是否具有量子对应? 同样用矢量的叉积定义出矢量的角动量算符, 现在考虑它分量的对易子 \[ \begin{aligned}\ [L_x,L_y]&=[yp_z-zp_y,zp_x-xp_z] \\&=[yp_z,zp_x]+[zp_y,xp_z] \\&=yp_x\cdot(-i)+xp_y\cdot i \\&=iL_z \end{aligned} \] 并且也可以用\(\vec{L}\)定义出位形空间的无穷小转动. 用位矢和动量叉积定义的角动量算符, 称为 轨道角动量, 因为还有一类角动量不需要位形空间中发生定轴或者定点转动而产生, 这种角动量被称作自旋.

阶梯算符

为了代数上求解角动量的本征态, 可以定义如下 阶梯算符 \[ J_{\pm}=J_x\pm iJ_y \] 容易证明下列对易关系 \[ [J_+,J_-]=2J_z\quad [J^2,J_{\pm}]=0\quad [J_z,J_{\pm}]=\pm J_{\pm} \] 现在考虑角动量的本征态. 首先, 已知\(J^2\)和\(J_z\)具有共同本征态, 可以用\(\ket{j,m}\)来标记这个本征态, 其中\(j\)和\(J^2\)的本征值一一对应, 但\(j\)本身不一定是\(J^2\)的本征值或者本征值的算术平方根, 只是一个标记; \(m\)既是标记也确实是\(L_z\)的本征值.

现在可以考察\(L_{\pm}\)作用到\(\ket{j,m}\)上的效应. 由于\([J_z,J_-]=-J_-\), 可得 \[ J_z J_-\ket{j,m}=J_-(J_z-1)\ket{j,m}=(m-1)J_-\ket{j,m} \] 此外, 由于\([J^2,J_-]=0\), \(J_-\ket{j,m}\)和\(\ket{j,m}\)对于\(J^2\)取相同本征值. 因而\(J_{-}\ket{j,m}\)恰好对应于\(\ket{j,m-1}\), 只是可能未归一化. 可以计算它的归一化系数: \[ \bra{j,m}J_+J_-\ket{j,m}=\bra{j,m} J^2-J_z^2+J_z\ket{j,m}=|c|^2 \] 即\(|c|^2=\lambda_j-m^2+m\), 其中\(\lambda_j\)是序号\(j\)对应的\(J^2\)的本征值(容易证明\(\lambda_j\ge0\)). 同样选取\(c\)为正实数, 立即得到 \[ J_-\ket{j,m}=\sqrt{\lambda_j-m^2+m}\ket{j,m-1}\quad m^2-m\le\lambda_j \] 后面的不等式是\(|c|^2\)非负给出的条件. 类似谐振子的讨论, 如果\(J_-\)生成的系数无法截断这个态矢序列, 那么可以通过不断作用\(J_-\)生成到\(\ket{j,-\infty}\)序列, 这样的态矢必定不满足\(m^2-m\le\lambda_j\). 因此, \(m\)具有一个下确界\(m_{min}\), 使得\(m_{min}^2-m_{min}=\lambda_j\).

同理, \(J_+\)可以维持\(j\)不变并增加\(z\)方向的磁性 \[ J_+\ket{j,m}=\sqrt{\lambda_j-m^2-m}\ket{j,m+1} \] 这个算符同样给\(m\)引入一个上确界\(m_{max}\), 且\(m_{max}^2+m_{max}=\lambda_j\). 解两个方程(注意到\(\lambda_j\ge0\)), 可得 \[ m_{min}=\frac{1\pm\sqrt{1+4\lambda_j}}{2}\quad m_{max}=\frac{-1\pm\sqrt{1+4\lambda_j}}{2} \] 很容易得到其中物理的解, 为 \[ m_{min}=-\frac{\sqrt{1+4\lambda_j}-1}{2}\quad m_{max}=\frac{\sqrt{1+4\lambda_j}-1}{2} \] 即\(m_{min}\)和\(m_{max}\)互为相反数. 由于\(j\)标记具有一定的任意性, 现在让\(j=m_{max}\), 则\(\lambda_j=j(j+1)\). 此外, \(m_{max}\)和\(m_{min}\)的间隔必定是整数, 因此\(2j\)需要取整数, \(j\)本身可以取整数或者半整数.

角动量本征态总结

\(J^2,J_z\)由于对易, 具有共同本征态\(\ket{j,m}\), 其中, \(j\)可以取自然数(\(0,1,\cdots\))或者正的半整数(\(\frac{1}{2},\frac{3}{2},\cdots\)); 对于同一个\(j\), \(m\)可以取\(-j,-j+1,\cdots,j-1,j\). 这些记号与本征值的关系为 \[ J^2\ket{j,m}=j(j+1)\ket{j,m}\quad J_z\ket{j,m}=m\ket{j,m} \] 另外, 需要指出的是, 轨道角动量的\(j\)(通常特别地写作\(l\))应该只能取自然数. 这是因为轨道角动量对应的态矢总可以和位置本征态作内积并得到所谓的波函数(坐标表象): \[ \braket{\hat{n}}{l,m}=Y_l^m(\hat{n}) \] 这里实际上已经揭示了\(\ket{l,m}\)在坐标表象下就是大家熟知的球谐函数, 球谐函数的\(l\)当然是自然数, 但是也可以暂且忽略这一点, 考虑绕着\(z\)轴转动\(2\pi\): \[ \bra{\hat{n}}\exp(-iL_z2\pi)\ket{l,m}=e^{-i2m\pi }\braket{\hat{n}}{l,m} \] 从物理上讲, 一个只包含位形自由度的系统自转\(2\pi\)应当完全回到自身, 否则波函数不是单值的. 此处\(m\)如果取半整数, 会引入一个负号, 不满足条件, 因此, 轨道角动量的本征态\(\ket{l,m}\)中, \(l\)总是自然数.