自旋与二级相变(05)：二级相变的临界涨落与关联

修正的平均场的涨落与关联

此前我们仅仅讨论了序参量在平衡态的取值, 从序参量实际的选取来看, 无论是顺磁-铁磁相变的平均自旋, 还是气液相变的体积, 都会围绕平衡态发生涨落, 并且在某些情况下, 涨落是不能忽略的.\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\)

为了讨论涨落, 需要让体系能够出现非均匀的序参量取值, 但平均场理论中, 单一标量\(m\)作为序参量总是一致的. 因此, 有必要将\(m\)推广为标量场 \[ F[m(\vec{r})]=\int d^D\vec{r}\left(f_0+\frac{a(T)}{2}m^2+\frac{d(T)}{2}(\nabla m)^2+\frac{b(T)}{4}m^4 \right) \] 称为 Landau-Ginzburg 自由能. 显然, 平移不变的极小值解会 cancel 梯度项, 与最普通的 Landau 理论没什么区别: \[ m_0(\vec{r})=\begin{aligned} \begin{cases} \sqrt{-a/b} & T<T_c \\ 0 \quad&T>T_c \end{cases} \end{aligned} \]

序参量的涨落

现在考虑涨落, 则 \[ m(\vec{r})=m_0(\vec{r})+m'(\vec{r}) \] 代入自由能泛函, 得到 \[ F[m(\vec{r})]=\begin{aligned} \begin{cases} \displaystyle\int d^D\vec{r}\left(f_0+\frac{a(T)}{2}m'^2+\frac{d(T)}{2}(\nabla m')^2\right) & T>T_c \\ \displaystyle\int d^D\vec{r}\left(f_0-\frac{a^2}{4b}-a(T)m'^2+\frac{d(T)}{2}(\nabla m')^2\right) & T<T_c \end{cases} \end{aligned} \] 其中, \(m'\)高于二次的项都被认为是小量, 从而略去. 引入涨落的 Fourier 变换: \[ m'(\vec{r})=\sum_{\vec{k}}\mu_\vec{k} e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\qquad \mu_\vec{k}=\int m'(\vec{r})e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}\frac{d^D\vec{r}}{(2\pi)^D} \] 根据 Parseval 定理, 有 \[ \begin{aligned} \int m'(\vec{r})^2d^D\vec{r}&=(2\pi)^D\sum_\vec{k}|\mu_\vec{k}|^2 \\ \int(\nabla m')^2d^D\vec{r}&=(2\pi)^D\sum_\vec{k}k^2|\mu_\vec{k}|^2 \end{aligned} \] 由此, 自由能泛函可以用频域的量表出(略去不重要的\((2\pi)^D\)系数) \[ F(\mu_\vec{k})=\begin{aligned} \begin{cases} \displaystyle F_0 + \sum_{\vec{k}}\frac{a(T)+d(T)k^2}{2}|\mu_\vec{k}|^2 & T>T_c \\ \displaystyle F_0' + \sum_{\vec{k}}\frac{-2a(T)+d(T)k^2}{2}|\mu_\vec{k}|^2 & T<T_c \end{cases} \end{aligned} \] 由于配分函数与自由能的关系, 配分函数关于\(\mu\)的表达式为(以对称相为例) \[ Z=\exp(-\frac{F}{k_BT})\sim\prod_{\vec{k}}\exp(-\frac{a+d k^2}{2k_BT}|\mu_{\vec{k}}|^2) \] 表现出 Gauss 分布. 因此, 任意一个\(\vec{k}\)模的\(\mu\)的系综均方值可以计算: \[ \langle|\mu_{\vec{k}}|^2\rangle=\begin{aligned} \begin{cases}\displaystyle\frac{k_BT}{a(T)+d(T)k^2} & T>T_c \\ \displaystyle\frac{k_BT}{-2a(T)+d(T)k^2} \quad & T<T_c \end{cases}\end{aligned} \]

关联函数, 关联长度

为了表现出系统中两个位置的关联性, 引入 关联函数(correlation function) \[ C(\vec{r}_1,\vec{r}_2):=\langle(m(\vec{r}_1)-m_0)(m(\vec{r}_2)-m_0)\rangle \] 对于具有平移不变性的系统, 关联函数值应当只与相对位置有关, 令\(\vec{r}_1=\vec{r},\vec{r}_2=0\), 有 \[ C(\vec{r}):=C(\vec{r}_1=\vec{r},\vec{r}_2=0)=\sum_{\vec{k},\vec{p}}\langle\mu_\vec{k}\mu_{\vec{p}}\rangle e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}} \] 上面的系综平均是对两个复数随机变量的乘积平均, 它们中的每一个模长都服从 Gauss 分布, 相位均匀分布. 不难验证, 均值取非零当且仅当\(\vec{p}=-\vec{k}\), 从而\(\mu_\vec{p}=\mu_{-\vec{k}}=\mu_\vec{k}^*\), 则 \[ C(\vec{r})=\sum_{\vec{k}}\frac{k_BT e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}}{a(T)+d(T) k^2} \] 当体积足够大时(热力学极限), 合法的波模式在动量空间中变得稠密, 离散求和可以用连续的积分代替, 最终得到 \[ \boxed{C(\vec{r})=\frac{k_BT}{4\pi d(T)}\frac{e^{-\frac{r}{\xi}}}{r}} \] 其中, \(\xi\)被称作 关联长度(correlation length) \[ \xi=\begin{aligned} \begin{cases} \displaystyle\sqrt{\frac{d(T)}{a_0(T-T_c)}}&T>T_c \\ \displaystyle\sqrt{\frac{d(T)}{2a_0(T_c-T)}}\quad&T<T_c \end{cases} \end{aligned} \] \(T\ne T_c\)时, 关联函数\(C\sim e^{-r}/r\), 表现为短程关联; \(T\)接近\(T_c\)时, 关联长度\(\xi\sim|T-T_c|^{-1/2}\), 不断增大; 当\(T=T_c\)时, \(\xi\)发散, 关联函数\(C\sim1/r\), 表现为长程关联. 因此可以说, 二级相变的本质就是涨落增大、关联长度发散、体系中出现长程关联. 在二级相变点附近, 关联函数和临界温度具有关系 \[ \xi\sim |t|^{-\nu} \] 这里\(\nu\)是我们新引入的临界指数, 对于 L-G 自由能, \(\nu=1/2\).

真实系统的关联, 临界指数

无外场 Ising 链的关联

考虑一维 Ising 模型的严格解, 并且外场为\(0\), 则 \[ \langle\sigma_1\sigma_{n+1}\rangle=\frac{2^N\cosh^NK}{Z}\sum_{\{\sigma_j\}}\sigma_1\sigma_{n+1}\prod_{<ij>}(1+\sigma_i\sigma_j\tanh K) \] 这里我们仿照了二维 Ising 模型高温展开的形式, 因为我们知道, 一维 Ising 模型\(T_c=0\), 任何正温度都是"高温".

现在同样可以讨论求和项中的贡献. 由于每一项都乘上\(\sigma_1\sigma_{n+1}\), 第一项本来是常数\(1\), 但现在被 cancel; 本来构成闭合回路的项, 现在引入了额外的一条边. 因此原有的非零贡献全部取\(0\). 要得到非零贡献, 只有两条本来不闭合的路径(注意到\(\sigma_1=\sigma_{N+1}\)): \[ \sigma_1\sigma_2\cdot\sigma_2\sigma_3\cdots\sigma_{n}\sigma_{n+1}\quad\sigma_1\sigma_{N}\cdot\sigma_{N}\sigma_{N-1}\cdots\sigma_{n+2}\sigma_{n+1} \] 它们本来都是不闭合的路径, 但是引入了\(\sigma_1\sigma_{n+1}\)因子, 相当于几何上强行添加了这一条边, 所以它们添加边后是闭合的, 能够对结果有贡献.

总而言之, 可以把结果写为 \[ \langle\sigma_1\sigma_{n+1}\rangle=\frac{\tanh^n K+\tanh^{N-n}K}{1+\tanh^N K} \] 现在取热力学极限(\(N\rightarrow+\infty\)), 考虑到\(\tanh K\)在有限温下都是小于\(1\)的, 得到 \[ \langle\sigma_1\sigma_{n+1}\rangle\approx\tanh^n K=e^{-\frac{n}{\xi}} \] 其中关联长度为 \[ \xi=\frac{-1}{\log\tanh K}=\frac{-1}{\log\displaystyle\frac{1-e^{-\frac{2J}{k_BT}}}{1+e^{-\frac{2J}{k_BT}}}} \] 低温极限下, \(e^{-\frac{2J}{k_BT}}\ll1\), 得到 \[ \xi=\frac{\exp(\frac{2J}{k_BT})}{2} \] 此时无法定义临界指数\(\nu\), 遑论\(\nu=1/2\). 这也说明了平均场近似的临界指数值不适用于严格的、实际的系统.

连续相变的标度分析

此前, 我们已经定义了一系列临界指数, 例如\(\alpha,\beta,\gamma,\delta\). 它们并不是相互独立的, 而是遵循一定的约束条件, 通过对各种热力学量在相变点附近发散行为的 标度分析 得到, 因此称为 标度关系. 此处省略标度分析过程, 只给出最终结果: \[ \begin{aligned} \begin{cases} \displaystyle\text{Rushbrooke: }\quad&\alpha +2\beta+\gamma=2 \\\displaystyle \text{Widom:}&\gamma=\beta(\delta-1) \end{cases} \end{aligned} \] 对于一维 Ising 的平均场近似, \((\alpha,\beta,\gamma,\delta)=(0,1/2,1,3)\); 对于二维 Ising 的严格解, 为\((0,1/8,7/4,15)\), 它们都满足这些结果.

还有一些标度关系, 它们基于 超标度假设(hyperscaling hypothesis) 得到, 即 \[ f(t,\mathcal{H})=\left(\frac{L}{\xi}\right)^D g_1(t,\mathcal{H})+\left(\frac{L}{a}\right)^Dg_2(t,\mathcal{H}) \] 含义是: 无量纲化了的自由能函数, 可以利用广延性写成右侧形式, 其中\(g_{1,2}\)是强度量函数, \(L,\xi,a\)分别是系统的尺度、关联长度和晶格常数, \(D\)是维数. 满足超标度假设的标度关系, 称为 超标度关系.

值得注意的是, 平均场近似和 Landau 理论计算得到的临界温度\(T_c=qJ/k_B\), 与维度无关, 各种临界指数也与维度无关, 因此超标度关系不一定适用于平均场近似的结果, 但它们适用于真实的、严格的系统.

常用的超标度关系如下: \[ \begin{aligned} \begin{cases} \displaystyle\text{Fisher: }\quad&\gamma=\nu(2-\eta) \\\displaystyle \text{Josephson:}&\alpha=2-D\nu \end{cases} \end{aligned} \] 其中, \(\eta\)是新定义的临界指数, 它描述了关联函数在临界温度处的标度: \[ C(r;T=T_c)\sim\frac{1}{r^{D-2+\eta}} \]

下表列出了我们迄今为止使用的所有临界指数, 以及它们在平均场近似和真实系统中的值.

临界指数	定义	MFA值	二维 Ising 真实值
\(\alpha\)	\(C_V\sim(-t)^{-\alpha}\)	\(0\)	\(0\)
\(\beta\)	\(m(\mathcal{H}=0)\sim(-t)^\beta\)	\(1/2\)	\(1/8\)
\(\gamma\)	\(\chi_T(\mathcal{H}=0)\sim|t|^{-\gamma}\)	\(1\)	\(7/4\)
\(\delta\)	\(\mathcal{H}(t=0)\sim |m|^\delta\)	\(3\)	\(15\)
\(\eta\)	\(C(r;t=0)\sim r^{-D+2-\eta}\)	\(0\)	\(1/4\)
\(\nu\)	\(\xi\sim|t|^{-\nu}\)	\(1/2\)	\(1\)

• 平均场近似值满足两种普通标度关系, 以及超标度关系中的 Fisher 关系, 不满足 Josephson 关系;
• 真实解满足所有普通标度关系和超标度关系.