自旋与二级相变(04)：相变的 Landau 理论

二级相变的 Landau 理论\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\)

假设自由能函数可以根据某种 序参量(order parameter) 刻画, 并且是序参量的偶函数: \[ f(m)=f_0+\frac{a(T)}{2}m^2+\frac{b}{4}m^4 \] 其中\(b>0\). Landau 理论认为, 系统的平衡态处在自由能极小值处. 如果\(a>0\), 那么极小值点显然为\(0\); 如果\(a<0\), 则极小值点满足方程 \[ \frac{\partial f}{\partial m}=m(a(T)+bm^2)=0 \quad\frac{\partial^2f}{\partial m^2}=a(T)+3bm^2>0 \] 这时, \(m=0\)是增根, 极小值点为 \[ m^2=-\frac{a(T)}{b} \] 当\(T\)从\(T_c^+\)减小为\(T_c^-\)时, \(a(T)\)由正变为负, 序参量\(m\)从\(0\)变为\(\pm\sqrt{-a(T)/b}\). 如果希望序参量不发生突变, 关于\(a(T)\)的比较自然的取法为: \(a(T)=a_0(T-T_c)\). 这样, 自由能不发生突变, 相变是连续相变.

Landau 理论的临界指数

\(m\)和\(T-T_c\)的关系为 \[ m=\pm\sqrt{\frac{a_0}{b}(T_c-T)} \] 序参量临界指数\(\beta\)是\(1/2\).

现在考虑引入外场\(\mathcal{H}\), 加入了响应的自由能函数是 \[ f(m)=f_0-m\mathcal{H}+\frac{a(T)}{2}m^2+\frac{b}{4}m^4 \] 同样, 平衡点由极小值点给出: \[ \mathcal{H}=a_0(T-T_c)m+bm^3 \] 它同时给出两个指数.

• 磁化率临界指数\(\gamma\): \[ \chi_T\Big|_{\mathcal{H}=0}\sim|T-T_c|^{-\gamma} \] 极小值方程可以反解出 \[ m\approx\frac{\mathcal{H}}{a_0(T-T_c)}+b'\mathcal{H}^3 \] 则一次项系数约为磁化率, \(\gamma=-1\).

• 序参量对磁场的临界指数\(\delta\): \[ \mathcal{H}\Big|_{T=T_c}\sim m^\delta \] 立即得到\(\delta=3\).

这些结果与平均场近似的结果完全一致.

平均场近似与 Landau 理论的等价性

我们写出平均场近似的对数配分函数: \[ \log(Z_{MF})=N\log(2\cosh(\beta(qJm+\mathcal{H})))-\frac{qN}{2}\beta Jm^2 \] 应当记得关系: \(F_{MF}=-k_BT\log Z_{MF}\), 利用 mathematica 展开上式, 可得 \[ F_{MF}=-Nk_BT\log2-N\mathcal{H}m+\frac{N(k_BT-qJ)}{2}m^2+\frac{NqJ}{12}m^4+O(\mathcal{H}^2,tm,\mathcal{H}m^3,\mathcal{H}^2m^2) \] 这个形式与 Landau 自由能完全一样, 两者能够给出相同的临界指数不足为奇.

临界指数的普适性

我们用 vdW 方程来说明临界指数的普适性, 其基本形式为 \[ (p+\frac{a}{v^2})(v-b)=RT \] 在临界温度以下, 存在一段失稳区间, 失稳条件为 \[ \left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_T=-\frac{RT}{(v-b)^2}+\frac{2a}{v^3}\ge0 \] 区间端点取等: \[ 2a(v-b)^2=RTv^3 \] 应当指出, 物理的区间是\([b,+\infty)\), 可能有两根、一根或者无解, 分别对应\(T_c^-, T_c,T_c^+\). 可以定义如下序参量: \[ m:=v/v_c-1=\frac{v}{3b}-1 \] 约化后的方程为 \[ \left(1+\mu+\frac{3}{(1+m)^2}\right)(2+3m)=8(1+t) \] 令\(\partial{\mu}/\partial{m}=0\), 得 \[ \frac{24(1+t)}{(2+3m)^2}=\frac{6}{(1+m)^3} \] 当\(t<0\)但\(|t|\ll1\)时, 可以认为\(v=3b(1+m)\), 有 \[ 4(1 + t)m^3 + (3 + 12t)m^2 +12tm + 4t =0 \] 解得 \[ m\approx\pm2\sqrt{-\frac{t}{3}}\sim(-t)^{1/2} \] 等温压缩系数的倒数为 \[ \frac{1}{\kappa_T}=-v\left(\frac{\partial p}{\partial v}\right)_T=\frac{2a}{v^2}-\frac{RTv}{(v-b)^2}=\frac{2}{9(1+m)^2}-\frac{8(1+m)(1+t)}{9(2+3m)^2} \] 再令\((\mu,m)=(0,0)\), 有 \[ \kappa_T=-\frac{9}{2t}\sim(-t)^{-1} \] \(T_c\)等温线上, 体积偏差和压强偏差的关系: \[ \begin{aligned} \mu&=\frac{8}{2+3m}-\frac{3}{(1+m)^2}-1 \\&=-\frac{3}{2}m^3+\frac{21}{4}m^4+O(m^5) \end{aligned} \] 从而 \[ \mu\sim m^3 \] Ising 模型(以及 Landau 理论)和 vdW 气体的相似性见表, 这些模型和理论可以统一地归入平均场近似的 普适类.

物理量和临界指数	在 Ising 模型中	在 vdW 气体中
\(m\)(序参量)	平均自旋	体积对临界值的偏离
\(\mathcal{H}\)(外场, 广义力)	磁场	压强对临界值的偏离
\(\chi\)(广义磁化率, 广义响应)	等温磁化率	等温压缩系数
\(\beta=1/2\)	\(m\sim(-t)^\beta\)	\(v-v_c\sim(-t)^\beta\)
\(\gamma=1\)	\(\chi_T\sim|t|^{-\gamma}\)	\(\kappa_T\sim|t|^{-\gamma}\)
\(\delta=3\)	\(\mathcal{H}\sim m^\delta\)	\(p-p_c\sim(v-v_c)^\delta\)