自旋与二级相变(02)：一维 Ising 模型的严格解

转移矩阵\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\)

在一维 Ising 模型中, 没有平均场近似的配分函数为 \[ Z=\sum_{\{\sigma_j\}}\exp(\beta J\sum_{j}\sigma_j\sigma_{j+1}-\beta\mathcal{H}\sum_j\sigma_j) \] 可以把后一项写成更加对称的形式: \[ \sum_j\sigma_j=\sum_j\frac{\sigma_j+\sigma_{j+1}}{2} \] 对于周期边条件, 这个代换总是成立的; 对于开边界条件, 在热力学极限下, 这个代换也是成立的. 我们采用周期边条件, \(\sigma_{N+1}=\sigma_1\). 配分函数变为 \[ Z=\sum_{\{\sigma_j\}}\prod_{j=1}^N\exp(\beta J\sigma_j\sigma_{j+1}-\frac{\beta\mathcal{H}}{2}(\sigma_j+\sigma_{j+1})) \] 引入一个\(2\times2\)矩阵, 称为 转移矩阵: \[ \b{T}=\begin{pmatrix} e^{\beta(J+H)} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta (J-H)} \end{pmatrix} \] 如果它的行列指标也用\(\pm1\)描述, 那么配分函数可以写作 \[ Z=\sum_{\{\sigma_j\}}\prod_{j=1}^N T_{\sigma_j\sigma_{j+1}} \] 这个形式可能令人费解, 完全展开的形式为 \[ Z=\sum_{\sigma_1=\pm1}\sum_{\sigma_2=\pm1}\cdots\sum_{\sigma_N=\pm1}T_{\sigma_1\sigma_2}T_{\sigma_2\sigma_3}\cdots T_{\sigma_{N-1}\sigma_N}T_{\sigma_N\sigma_1} \] 可以看到, 指标\(\sigma_2,\sigma_3,\cdots,\sigma_{N-1},\sigma_N\)是矩阵乘法的哑指标, 上式可以整理成矩阵连乘形式: \[ Z=\sum_{\sigma_1=\pm1}\b{T}^{N}[\sigma_1,\sigma_1]=\text{tr}(\b{T}^N) \] 最终表现为\(N\)个转移矩阵乘积的迹. 注意到如果\(\b{T}\)相似于对角矩阵\(\b{D}=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2)\), 那么\(\b{T}^N\)相似于\(\b{D}^N\), 两者迹相等. 因此 \[ Z=\lambda_1^N+\lambda_2^N\qquad(\lambda-e^{\beta(J+\mathcal{H})})(\lambda-e^{\beta(J-\mathcal{H})})=e^{-2\beta J} \] 得到 \[ \lambda_{1,2}=e^{\beta J}(\cosh(\beta\mathcal{H})\pm\sqrt{\cosh^2(\beta\mathcal{H})-2e^{-2\beta J}\sinh(2\beta J)}) \] 不难得到\(\lambda_1>\lambda_2\), 在热力学极限下, 可以略去\(\lambda_2\), 得到 \[ \log Z=N\log(\lambda_1) \]

临界温度

之前定义的自旋均值\(m\)本身就有磁化强度的含义 \[ m=\frac{\partial\log Z}{N\beta\partial\mathcal{H}}=\left(\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_1^2} \right)\sinh(\beta\mathcal{H}) \] 在有限温、零外场下, \(\beta\mathcal{H}\)总是为\(0\), 除非\(T=0\)使得\(\beta\mathcal{H}\)构成未定式. 因此, Ising 模型的一维严格解在任意有限温不存在自发磁化, 即\(T_c=0\).

可以找到一个非常漂亮的 argument 来说明这一点. 假设系统处在完全有序态, 能量最低, 熵也很小; 现在让某一个自旋翻转, 能量增大

\[ \Delta E=2\times 2J=4J \]

熵也增大了, 按照 Boltzmann 熵的定义, \(S\sim\log\Omega\), 系统的基态是二重简并, 而这种激发态是\(2N\)重简并, 因此

\[ \Delta S=k_B\log N \]

自由能变化为

\[ \Delta F=4J-k_BT\log N \]

有限温、热力学极限下, 熵变总会发散, 导致自由能减小, 因此完全有序态受激后更加稳定, 系统不会处在铁磁态.