自旋与二级相变(01)：Ising 模型与平均场近似

自旋相互作用的微观机制与抽象描述\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\newcommand{\ave}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}\)

自旋模型的动力学自由度是定义在某个晶格的格点上的自旋变量(对于原子晶格, 是原子的总磁矩或者总角动量), Hamiltonian 只包含这些自旋变量的相互作用. 这种相互作用是一种与全同性有关的纯量子效应, 没有经典对应. 交换相互作用在两体系统中可以简单地写为 \[ H_{exchange}=-J\vec{S}_1\cdot\vec{S}_2 \] 其中, \(\vec{S}\)是自旋变量, \(J\)叫做 交换积分, 与两个原子的波函数交叠有关, 对于远离的两个原子, 可以认为\(J\)迅速衰减为\(0\). 因此, 一种十分常见的假设是: 交换相互作用是一种 最近邻相互作用(nearest neighboring interaction, NNI).

现在, 我们可以引入自旋-\(1/2\) Ising 模型了. 考虑一个关于自旋的多体 Hamiltonian, 只考虑 NNI 并且强度相等. 由于自旋为\(1/2\), 所以可以用 Pauli 变量描述, 并且同一个方向上只取\(\pm1\). 如果系统还感受到匀强外场\(\mathcal{H}\), 则 \[ H=-J\sum_{<ij>}\sigma_i\sigma_j-\mathcal{H}\sum_j\sigma_j \] 求和中的\(<ij>\)表示只对最近邻的数对求和. 如果我们希望无外场时, 系统在动力学上倾向于铁磁, 则\(J>0\)以使得自旋全部平行时能量最低.

平均场近似

对于单个自旋\(\sigma_j\)而言, 它感受到的等效场不止是\(\mathcal{H}\), 还包括相邻自旋的效应 \[ \mathcal{H}_{eff}=\mathcal{H}+J\sum_{<ij>}\sigma_i \] 主要的困难在于后一项, 它使得各个自旋变量高度耦合. 平均场近似的思路是, 将实际的自旋变量\(\sigma_i\)直接用系综平均\(\ave{\sigma_i}\)表示, 就可以把它当成常数处理了. 这样, 等效场为 \[ \mathcal{H}_{eff}\approx\mathcal{H}+qJ\ave{\sigma_i} \] 其中\(q\)是配位数, 只和晶格的形状有关. \(\ave{\sigma_i}\)根据晶格的平移对称性, 与具体位置\(i\)无关, 可以统一记作\(m\).

还有一种方法是对能量项进行平均: \[ \begin{aligned} \sigma_i\sigma_j&=(m+\sigma_i-m)(m+\sigma_j-m) \\&=m^2+m(\sigma_i+\sigma_j-2m)+\cancel{(\sigma_i-m)(\sigma_j-m)} \end{aligned} \] Hamiltonian 为 \[ \begin{aligned} H_{MF}&=-J\sum_{<ij>}m(\sigma_i+\sigma_j-m)-\mathcal{H}\sum_j\sigma_j \\&=\frac{qN}{2}Jm^2-(qJm+\mathcal{H})\sum_j\sigma_j \end{aligned} \] 两种近似的区别就在于上式第一项是否存在, 我们采用带有\(m^2\)项的平均场 Hamiltonian.

配分函数和热力学量

根据\(H_{MF}\)求得的正则配分函数为 \[ \begin{aligned} Z_{MF}&=\exp(-\frac{qN}{2}\beta Jm^2)\sum_{\{\sigma_j\}}\exp(\beta(qJm+\mathcal{H})\sum_j\sigma_j) \\&=\exp(-\frac{qN}{2}\beta Jm^2)\left[2\cosh(\beta(qJm+\mathcal{H})) \right]^N \end{aligned} \] 对数正则配分函数为 \[ \log(Z_{MF})=N\log(2\cosh(\beta(qJm+\mathcal{H})))-\frac{qN}{2}\beta Jm^2 \] 考虑到\(m\)是单个自旋变量的系综平均, 它本身就可以用配分函数表示为 \[ m=\frac{1}{N}\frac{\partial}{\partial \mathcal{H}_{eff}}\log(Z_{MF})=\tanh(\beta(qJm+\mathcal{H})) \] 这个方程称作 自洽方程, 它决定了\(m\)的取值.

三种温度下的自旋取值

首先是任意外场、无穷高温, \(\beta\mathcal{H}_{eff}\approx0\), 根据自洽方程可知: \(m=0\).

然后是任意外场、零温, \(\beta\mathcal{H}_{eff}\)发散到无穷, 正负性取决于有效场, 则\(m=\pm1\).

这两种情形完全可以通过定性分析得到. 系统在动力学上倾向于能量最低(自旋全部平行), 在热力学上倾向于完全随机排列, 因此在无穷高温下完全无序, 在零温下完全有序.

最后一种情形是无外场的自洽方程: \[ m=\tanh(\beta qJm) \] 它在\(\beta qJ\le 1\)时只有零解, 在\(\beta qJ>1\)时存在非零解. 引入 临界温度 \[ T_c=\frac{qJ}{k_B} \] 当\(T>T_c\)时, \(m\)只有零解, 系统在无外场时也不存在分子场, 在外场驱动下产生同向磁场, 处在顺磁相; \(T<T_c\)时, \(m\)既有零解也有非零解, 系统在无外场时可以进行 自发磁化, 从无序的状态自发变为相对有序的状态, 处于铁磁相. \(T_c\)恰好是这个顺磁-铁磁相变的临界温度. 这个值是完全无关于维度的, 仅有的几何量是配位数\(q\). 有必要指明的是, 这完全是近似解, 不是真实解.

近似解的临界指数

在临界温度附近, 各个热力学量的依赖关系是重要的. 考虑无外场、温度略低于\(T_c\)的情况, \(m\)本身是小量, 自洽方程可以展开为幂级数 \[ m=\frac{T_c}{T}m-\frac{T_c^3}{3T^3}m^3 \] 得到 \[ m^2=\frac{3T^3}{T_c^3}(\frac{T_c}{T}-1) \] 当\(T\)在\(T_c\)附近时, \(T^3\)因子不重要, 可以直接近似为\(T_c\), 则 \[ m\sim\begin{aligned} \begin{cases} 0\qquad&T>T_c \\ (T_c-T)^{\frac{1}{2}}&T<T_c \end{cases} \end{aligned} \] 这个幂指数的一般记号为\(\beta\), 称作 序参量临界指数.

还可以考虑磁化率 \[ \chi_T=\left(\frac{\partial m}{\partial\mathcal{H}} \right)_{\mathcal{H}=0} \] 对自洽方程求偏导数, 得到 \[ 1=\frac{\displaystyle\beta qJ+\beta\left(\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial m} \right)}{\cosh^2(\beta (qJm+\mathcal{H}))}\Bigg|_{\mathcal{H}=0}=\frac{\beta}{\cosh^2(\beta qJm)}(qJ+1/\chi_T) \] 在\(T_c\)附近, \(\cosh(\beta qJm)\)直接近似为\(1\), 则 \[ \chi_T=\frac{1}{qJ-k_BT}\sim(T_c-T)^{-1} \] 这个幂指数一般记作\(-\gamma\), 称为 磁化率临界指数.

当温度恰好为\(T_c\)时, 自洽方程为 \[ m=\tanh(m+\frac{\mathcal{H}}{k_BT}) \] \(m\)和\(\mathcal{H}\)都是无穷小量时, 它们的依赖关系为 \[ m=m+\frac{\mathcal{H}}{k_BT}-\frac{1}{3}\left(m+\frac{\mathcal{H}}{k_BT}\right)^3 \] 整理可得: \[ \mathcal{H}\sim m^3\qquad T=T_c \] 这个指数一般记作\(\delta\), 称为 序参量对磁场的临界指数. \(\beta,\gamma,\delta\)完整描述了临界点附近\(T,m,\mathcal{H}\)的关系.

另一个重要的临界指数是热容和温度的关系: \[ C_\mathcal{H}\sim|T-T_c|^{-\alpha} \] 平均场近似的 Ising 模型的热容不会发散, 只有间断点, 因此\(\alpha=0\).