微扰论(08)：Rabi 振荡和 AC Stark 效应

\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\)含时微扰论中, 未作近似的动力学方程为(Dirac 表象) \[ i\dot{C}_m=\sum_n e^{i\omega_{mn} t} W_{mn}(t)C_n \] 现在, 微扰函数取作单色电磁波. 基于光子视角, 光子频率对绝大部分能级差都是远失谐, 跃迁几乎是禁戒的. 如果光子频率\(\omega\)相当接近基态和某个激发态构成的固有频率\(\omega_{eg}\), 那么可以近似在两个态矢张成的子空间下求解, 系统极大简化为二能级系统.

场的经典近似与跃迁的偶极近似

具体计算时, 对于光子又回到经典电磁波的图景, 回避量子电动力学. 这样, 微扰函数为 \[ W(t)=\frac{e\vec{A}}{\mu}\cdot\vec{p}+\frac{e^2\vec{A}^2}{2\mu}\approx\frac{e\vec{A}}{\mu}\cdot\vec{p} \] 其中已经选择横场规范(\(\varphi\equiv0\)), 矢势是简谐波, 即 \[ W(t)=\frac{eA_0p_x}{\mu}\cos(\frac{\omega}{c}z-\omega t+\theta_0) \] 可以定义一个算符\(V\)(不一定幺正), 让上式简写为 \[ W(t)=V\exp\left[i\omega\left(\frac{z}{c}-t\right)\right]+h.c. \] 其中\(V=eA_0p_x\frac{\exp(i\theta)}{2\mu}\), 下面计算\(W(t)\)在态上的期待. 首先, 取如下近似: \[ \exp(\frac{i\omega z}{c})\approx1+\frac{i\omega z}{c}+\cdots\approx1 \] 因为\(z\)是原子尺度, 如果电磁波的频率能大致让原子能级之间共振跃迁, 那么原子尺度远小于电磁波波长. 这样, 就有 \[ \bra{m}W(t)\ket{n}=e^{-i\omega t}V_{mn}+e^{i\omega t}(V_{nm})^* \] 同时, 注意到\(p_x=-i\mu[x,H_0]\), 因而 \[ \bra{m}V\ket{n}=\frac{iA_0\exp(i\theta)}{2}(E_n-E_m)\bra{m}-ex\ket{n} \] 只剩下偶极算符的矩阵元. 因此上述\(\exp(i\omega z/c)\approx 1\)的近似又称偶极近似. 跃迁最常用的近似就是偶极近似, 人们常说的跃迁选择定则, 就是基于偶极矩这个一阶球张量给出的 W-E 定理结果. 同时, 很容易知道\(V_{nn}=0\), 微扰函数一定只含非对角项.

近似解

现在, 严格的动力学方程整理为 \[ \begin{aligned} i\dot{C}_g&=(V_{ge}e^{-i(\omega_{eg}+\omega) t}+(V_{eg})^*e^{i(\omega-\omega_{eg})t})C_e \\ i\dot{C}_e&=(V_{eg}e^{i(\omega_{eg}-\omega) t}+(V_{ge})^*e^{i(\omega+\omega_{eg})t})C_g \end{aligned} \] 应该注意, 此前将原子能级抽象为二能级系统时, 已经舍去远失谐项, 这里同样舍去远失谐项: \[ i\dot{C}_g=(V_{eg})^*e^{i(\omega-\omega_{eg})t}C_e\quad i\dot{C}_e=V_{eg}e^{i(\omega_{eg}-\omega)t}C_g \] 引入失谐\(\Delta:=\omega-\omega_{eg}\), 以及新的因变量 \[ D_g=C_g\exp(-\frac{\Delta}{2}t)\quad D_e=C_e\exp(\frac{\Delta}{2}t) \] 终于将动力学方程整理成线性常系数形式: \[ \begin{aligned} i \dot{D}_g - \frac{\Delta}{2} D_g &=(V_{eg})^*D_e \\ i\dot{D}_e +\frac{\Delta}{2} D_e &=V_{eg}D_g \end{aligned} \] 如果试探解为\(D\propto\exp(i\Omega t)\), 得到 \[ \begin{vmatrix} -\Omega-\frac{\Delta}{2} & -V_{eg}^* \\ -V_{eg} & -\Omega +\frac{\Delta}{2} \end{vmatrix}=0\Rightarrow \boxed{\Omega=\pm\sqrt{|V_{eg}|^2+\frac{\Delta^2}{4}}} \] \(\Omega\)就是所谓的 Rabi 频率. 如果\(t=0\)时系统处在基态, 则\(t\)之后被激发的概率为 \[ P_e(t)=\frac{|V_{eg}|^2}{\Omega^2}\sin^2(\Omega t) \]

极弱失谐

如果失谐\(\Delta\)非常非常小(远小于\(|V_{eg}|\)), 可以料想到\(\Delta=0\)时的情形——发生共振. 非对角项占据主导, 能级的移动远大于本身, 失去了"微扰"的意义. 经过\(t\)时间从基态被激发的概率为 \[ P_e(t)\approx\sin^2|V_{eg}| t \] 两个能级发生极其强烈的耦合, 概率会在\(0\)和\(1\)之间剧烈跳动. 这种现象被称为 Rabi 振荡.

强失谐

如果失谐\(\Delta\gg|V_{eg}|\), 则能级之间的耦合非常弱, 对角项仍占主导, 系统跃迁概率极小, 主要表现为能级移动. 静态 Hamiltonian 为 \[ H=\begin{pmatrix} -\frac{\Delta}{2} & -V_{eg}^* \\ -V_{eg} & \frac{\Delta}{2} \end{pmatrix} \] 选取的基是原子未微扰能级的本征态, 为了更好地反映能级移动, 需要将其对角化, 物理上就是把基底重新选为原子与光子耦合的态矢. 得到 \[ E_{e,g}'=\pm\sqrt{|V_{eg}|^2+\frac{\Delta^2}{4}}\approx\pm\frac{\Delta}{2}(1+\frac{2|V_{eg}|^2}{\Delta^2}) \] 能级排斥造成的间隔增加为\(2|V_{eg}|^2/\Delta\), 这个结果被称为 AC Stark 效应, 其中"AC"就是表示电场是交流而非直流, 因而需要二阶含时微扰论, 和直流电场下的 Stark 效应(定态微扰论)区别开来.