微扰论(07)：两种时间尺度近似与 Berry 相位

两种对时间尺度的极端近似\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\)

上一节我们引入了含时微扰, 它和定态微扰的区别在于微扰是否含时. 然而, 所有的微扰都可以认为是含时的——实验中, 制备完成一个量子态和施加定态微扰不可能严格同时发生, 那么全过程的微扰就是含时的: 施加微扰之前为\(0\), 施加微扰时具有一定的上升沿, 随即稳定下来. 在这种时候, 定态微扰的全部结论是否还有意义? 严格使用含时微扰的结果能否回到定态微扰的结论?

考虑这样的微扰\(W(t)\), 满足 \[ \bra{m}W(t)\ket{n}= \begin{aligned}\begin{cases}\displaystyle W_{mn}e^{\eta t}&t<0 \\\\\displaystyle W_{mn}\quad&t>0 \end{cases}\end{aligned} \] 其中\(\eta>0\). 这个微扰函数在时间负半轴的作用是从零开始增大它的值, \(\eta\)的两种极限代表微扰施加上去的速度不同. \(\eta\ll\omega_{mn}\)时, 微扰极其缓慢地施加到系统上; \(\eta\gg\omega_{mn}\)时, 微扰在\(t=0\)附近从\(0\)迅速增大到稳定值.

振幅的一阶修正项为 \[ \begin{aligned} c_{n}^{(1)}(t)&=-iW_{ni}(\int_{-\infty}^0 e^{\eta t'}e^{i\omega_{ni}t'}dt'+\int_{0}^t e^{i\omega_{ni}t'}dt') \\&= \begin{aligned}\begin{cases}\displaystyle \frac{-iW_{ni}}{\eta+i\omega_{ni}}e^{\eta t+i\omega_{ni}t}&t<0 \\\\\displaystyle-iW_{ni}(\frac{1}{\eta+i\omega_{ni}}+\frac{e^{i\omega_{ni}t}-1}{i\omega_{ni}})\quad&t>0 \end{cases}\end{aligned} \end{aligned} \] 二阶修正项满足方程: \[ i\dot{c}_m^{(2)}(t)=\sum_{n}e^{i\omega_{mn}t} W_{mn}(t) c_n^{(1)}(t) \] \(t<0\)时, 有 \[ c_m^{(2)}(t)=(-i)\sum_{n}\int_{-\infty}^t\frac{-i W_{ni}W_{mn}}{\eta+i \omega_{ni}} e^{2\eta t+i\omega_{mi}t}=-\sum_{n} \frac{W_{ni}W_{mn}e^{2\eta t+i\omega_{mi}t} }{(\eta+i\omega_{ni})(2\eta+i\omega_{mi})} \] \(t>0\)时, 有 \[ \begin{aligned} c_{m}^{(2)}(t)&=-\sum_{n} \frac{W_{ni}W_{mn}}{(\eta+i\omega_{ni})(2\eta+i\omega_{mi})}-\sum_{n}\int_0^t W_{mn}W_{ni}e^{i\omega_{mn}t} (\frac{1}{\eta+i\omega_{ni}}+\frac{e^{i\omega_{ni}t}-1}{i\omega_{ni}})dt \\&=-\sum_{n} \frac{W_{ni}W_{mn}}{(\eta+i\omega_{ni})(2\eta+i\omega_{mi})}-\sum_{n} W_{mn}W_{ni} (\frac{\eta (e^{i\omega_{mn}t}-1)}{(\eta+i\omega_{ni})\omega_{ni}\omega_{mn}}-\frac{e^{i\omega_{mi}t}-1}{\omega_{ni}\omega_{mi}}) \end{aligned} \] ### 冲量近似

令\(\eta\gg \omega_{mi}\), 则 \[ c_m(t)\approx\delta_{mi}-\frac{W_{mi}}{\omega_{mi}}(e^{i\omega_{mi}t}-1) \] \(t=0\)时, \(c_n(t)=\delta_{ni}\), 即态矢仍为\(t=-\infty\)时的\(\ket{i}\), 这相当符合直觉, \(\eta\rightarrow+\infty\)(或\(\eta\gg\omega_{ni}\)) 是冲量近似, 微扰在\(t=0\)时被瞬间加到体系上, 态矢来不及改变.

绝热近似

令\(\eta\ll\omega_{mi}\), 则 \[ \begin{aligned} c_m(t)&\approx\delta_{mi}-\frac{W_{mi}}{\omega_{mi}}e^{i\omega_{mi}t}+\sum_{n} W_{mn}W_{ni}\frac{e^{i\omega_{mi}t}}{\omega_{ni}\omega_{mi}} \\\dot{c}_m(t)&\approx-iW_{mi}e^{i\omega_{mi}t} +i\sum_{n}W_{mn}W_{ni}\frac{e^{i\omega_{mi}t}}{\omega_{ni}} \end{aligned} \] \(m=i\)时, 有 \[ \frac{\dot{c}_i}{c_i}\approx\left(-iW_{ii}+i\sum_{n}\frac{|W_{ni}|^2}{\omega_{ni}}\right)(1+\frac{W_{ii}}{\omega_{ii}})\approx-iW_{ii}+i\sum_{n\ne i}\frac{|W_{ni}|^2}{\omega_{ni}} \] 我们会发现, 如果令\(\dot{c}_i=-i\Delta E c_i\), 根据上式求得的\(\Delta E\), 恰好包含非简并微扰的一阶项和二阶项.

在绝热近似下, 初态将系统制备成能量本征态\(\ket{i}\), 然后缓慢增大微扰, 微扰值稳定后^[1], 系统就绝热地演化到了新的能量本征态\(\ket{i'}=\ket{i;0}+\ket{i;1}+\cdots\)上, 此时, 我们可以使用非简并微扰处理问题. 或者说, 当微扰的变化速率远远慢于系统固有的响应速率, 可以使用定态微扰处理每时每刻的系统.

Berry 相位

上面对于绝热近似的讨论认为, 含时微扰如果变化极其缓慢, 系统会从\(E_i\)本征态逐渐被"拖拽"到\(E_{i'}\)本征态. 这提示我们追踪每时每刻的本征值变化. 即: 考虑态\(\ket{n,t}\), 它对每个\(t\)时刻给出\(H\)的本征值 \[ H(t)\ket{n,t}=E_n(t)\ket{n,t} \] 一个任意的受\(H(t)\)控制演化的态\(\ket{\psi(t)}\)可以写成如下形式 \[ \ket{\psi(t)}=\sum_{n}u_n(t)\exp(i\theta_n(t))\ket{n,t} \] 其中, \(\theta_n=-\int_0^tE_n(t')dt'\). 基于\(\ket{\psi(t)}\)的动力学方程, 有 \[ \begin{aligned} i\frac{\partial}{\partial t}\left(\sum_nu_n(t)e^{i\theta_n(t)}\ket{n,t} \right)-\sum_nu_n e^{i\theta_n(t)}E_n(t)\ket{n,t}&=0 \\ i\sum_nu_n(t)e^{i\theta_n(t)}\left(\frac{\partial}{\partial t}\ket{n,t} \right)+i\sum_n\dot{u}_n(t)e^{i\theta_n(t)}\ket{n,t}&=0 \end{aligned} \] 从左边作用\(\ket{m,t}\), 有 \[ \dot{u}_m=-e^{i\theta_m(t)}\sum_n u_n(t)e^{i\theta_n(t)}\bra{m,t}\frac{\partial}{\partial t}\ket{n,t} \] 为了解释各项的作用, 需要对\(H\ket{n,t}=E_n\ket{n,t}\)取时间导数 \[ \dot{H}\ket{n,t}=(E_n-H)\frac{\partial}{\partial t}\ket{n,t}+\dot{E}_n\ket{n,t} \] 然后从左边作用\(\ket{m,t}\), 得到 \[ (E_n-E_m)\bra{m,t}\frac{\partial}{\partial t}\ket{n,t}=\bra{m,t}\dot{H}\ket{n,t}+\dot{E}_n\delta_{mn} \] 它允许代换掉所有\(m\ne n\)的\(\bra{m,t}\partial_t\ket{n,t}\)项, 振幅的演化整理为 \[ \dot{u}_m=-u_m\bra{m,t}\frac{\partial}{\partial t}\ket{m,t}+\sum_{n\ne m}\frac{\bra{m,t}\dot{H}\ket{n,t}}{E_n-E_m}u_ne^{i(\theta_n-\theta_m)} \] 到这里, 还是严格的结果. 但如果考虑绝热近似, 求和中振幅前的系数相当于\(H\)的相对变化率, 它远远慢于系统中态的自然变化率(即\(\omega_m=E_m/\hbar\)), 因而可以忽略不计. 那么得到 \[ \dot{u}_m=-u_m\bra{m,t}\frac{\partial}{\partial t}\ket{m,t} \] 如果定义 Berry 相位: \[ \gamma_m(\tau):=i\int_0^\tau \bra{m,t}\frac{\partial}{\partial t}\ket{m,t}dt \] 那么系统中每个含时本征态都独立演化: \[ u_m(t)=e^{i\gamma_m(t)}u_m(0) \] 这种方法把单个本征态的绝热演化推广为任意态.

Berry 联络

引入一个中间参数矢量\(\vec{R}\)描述\(H\)的含时演化, 那么上述相位可以以更加令人熟悉的形式写出 \[ \gamma_m=\int_{\vec{R}(0)}^{\vec{R}(\tau)} i\bra{m,t}\nabla_R\ket{m,t}\cdot d\vec{R} \] 如果参数矢量呈现周期性, 可以定义出更常见的 Berry 相位:

Def Berry 相位

\[ \gamma_m:=\oint i\bra{m,t}\nabla_R\ket{m,t}\cdot d\vec{R} \]

其中\(\vec{R}\)是 Hamiltonian 中的参数矢量, 则\(\gamma_m\)称之为 Berry 相位.

可以把积分核取出定义成一个矢量:

Def Berry 联络

\[ \vec{A}_m:=i\bra{m,t}\nabla_R\ket{m,t} \]

则\(\gamma_m\)可以定义成\(\vec{A}_m\)的环路积分, \(\vec{A}_m\)称为 Berry 联络.

很容易看出\(\vec{A}_m\)和矢势的相似之处: 它们都具有规范不变性: \[ \vec{A}_m\rightarrow\vec{A}_m+\nabla\phi\quad\gamma_m\rightarrow\gamma_m \] 并且旋度可以定义出一个场. 不同的是, 矢势一般基于三维, 它的旋度可以轻易地简化为赝矢量, 即磁场; 而 Berry 联络基于任意维度, 旋度应该得到一个反对称张量: \[ \mathcal{F}_{jk}:=\partial_j A_k-\partial_k A_j \] 这里的\(\mathcal{F}\)一般叫做 Berry 曲率. 它在测度\(dR_j\wedge dR_k\)上积分(特殊地, 在三维空间得到面积分)仍回到 Berry 相位的值.

如果\(\vec{R}\)选取为实空间矢量, 那么合适的例子就是磁场和 A-B 效应; 如果\(\vec{R}\)选取为动量空间矢量, 合适的例子是拓扑能带与陈数. 对这些例子的详细叙述从略.

1. 实际上, 稳定前也能给出定态微扰的结果, 具体计算从略 ↩︎