微扰论(06)：含时微扰

\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\)至此己经考虑了不显含时间的 Hamiltonian. 然而, 实际上有相多重要的与时间相关的系统. 在本章的剩余部分, 将展示如何处理含有时间相关势的情况.

相互作用绘景

对于\(t\)时刻的力学量\(A\)进行测量, 期待值是 \[ \bra{\psi(t)}A_t\ket{\psi(t)}=\bra{\psi(0)}e^{iHt}Ae^{-iHt}\ket{\psi(0)} \] 常见的两种绘景里, Schrodinger 绘景把演化完全交给态矢, 而 Heisenberg 绘景完全交给算符. 但含时微扰论中, \(H\)被拆分为\(H_0\)和\(W(t)\)两部分, 这时候就可以考虑一种新的绘景. 在这个绘景中, \(H_0\)指导算符的演化: \[ A_t=e^{iH_0t}Ae^{-iH_0t} \] 因而态矢的演化为 \[ \begin{aligned} \ket{\psi(t)}&=e^{iH_0t}e^{-iHt}\ket{\psi(0)} \\i\frac{\partial}{\partial t}\ket{\psi(t)}&=e^{iH_0t}(H-H_0)e^{-iHt}\ket{\psi(0)} \\&=e^{iH_0t}We^{-iH_0t}\ket{\psi(t)} \end{aligned} \] 即\(V(t)=e^{iH_0t}W(t)e^{-iH_0t}\)指导态矢的演化. 这样, 时间演化算符不会完全由态矢或算符其中之一承担, 而是共同承担.

从初态\(t_i\)到末态\(t\)的态矢的时间演化算符为 \[ U(t,t_i)=\exp(-i\int_{t_i}^t V(t')dt') \] 它完全等价于一个严格的积分方程 \[ U(t,t_i)=1-i\int_{t_i}^t V(t')U(t',t_i)dt' \] 对于严格的积分方程, 可以计算有限项的迭代解: \[ \begin{aligned} U(t,t_i)&=1+U^{(1)}(t,t_i)+\cdots+U^{(n)}(t,t_i) \\ U^{(1)}(t,t_i)&=-i\int_{t_i}^tV(t')\cdot 1dt' \\ U^{(2)}(t,t_i)&=-i\int_{t_i}^tV(t')\cdot U^{(1)}(t',t_i)dt' \\&=(-i)^2\int_{t_i}^t dt' V(t')\int_{t_i}^{t'}dt'' V(t'') \\ U^{(n)}(t,t_i)&=(-i)^n\int_{t_i}^tdt_{n}V(t_n)\int_{t_i}^{t_n}dt_{n-1}V(t_{n-1})\cdots\int_{t_i}^{t_2}dt_1V(t_1) \end{aligned} \] 这就是著名的 Dyson 级数.

含时微扰的一般形式

上述结果过于抽象, 可以基于\(H_0\)的本征态更具体地讨论. 假设态矢具有如下展开 \[ \ket{\psi(t)}=\sum_n C_n\ket{n} \] 其中\(\ket{n}\)不随时间变化. 在相互作用表象中, 立即得到 \[ \sum_n i\dot{C}_n\ket{n}=\sum_n V(t)C_n\ket{n} \] 用\(\bra{m}\)从左边内积, 有 \[ i\dot{C}_m=\sum_n C_n\bra{m}e^{iH_0t}W(t)e^{-iH_0t}\ket{n}=\sum_n e^{i\omega_{mn}t}W_{mn}C_n \] 其中, \(W_{mn}=\bra{m}W(t)\ket{n}\), \(\omega_{mn}=E_m-E_n\). 这里仍是严格解, 但多数情况下求解这组方程是非常困难的. 含时微扰的思路是基于\(W_{mn}\ll E_{m},E_{n}\), 进行逐级展开. 这里仍用无量纲数\(\lambda\)标记级次, \(H=H_0+\lambda W\), 则严格方程为 \[ i\dot{C}_m=\lambda \sum_{n}e^{i\omega_{mn}t}W_{mn}C_n \] 近似地, 可以把\(C_n\)展开为\(C_n^{(0)}+\lambda C_{n}^{(1)}+\lambda^2 C_{n}^{(2)}+\cdots\), 则 \[ \begin{aligned} i\dot{C}_m^{(0)}&=0 \\ i\dot{C}_m^{(j+1)}&=\sum_{n}e^{i\omega_{mn}t} W_{mn}C_n^{(j)} \end{aligned} \]

从单一定态开始的跃迁

作为例子, 可以考虑初态为单一的能量本征态\(\ket{i}\). 则 \[ C_{f}^{(0)}=\delta_{fi} \] 一阶微扰项: \[ i\dot{C}_f^{(1)}=\sum_ne^{i\omega_{fn}t}W_{fn}C_n^{(0)}=e^{i\omega_{fi}t}W_{fi} \] 解得 \[ C_f^{(1)}=(-i)\int_0 ^{t} e^{i\omega_{fi}t'}W_{fi}(t')dt' \] 系数的各阶微扰项形式上非常类似 Dyson 级数. 如果\(f\neq i\), 则\(|C_{f}|^2\)表示初态\(i\)跃迁到某个不同末态\(f\)的概率; 如果\(f=i\), 则\(|C_f|^2\)表示滞留在初态\(i\)的概率 \[ \begin{aligned} P_f&\approx |C_f^{(0)}+\lambda C_f^{(1)}|^2=|C_f^{(1)}|^2+O(\lambda^3) \\ P_i&\approx|C_i^{(0)}+\lambda C_i^{(1)}|^2=1-\sum_{f\neq i}|C_f^{(1)}|^2 +O(\lambda^3) \end{aligned} \] ## 常微扰

最简单的微扰模型是常微扰: \[ W(t)=W\cdot\theta(t) \] 其中, \(\theta\)是 Heaviside 阶跃函数. 这样的微扰在\(t<0\)时尚未加在系统上, \(t>0\)之后是一个非零常量. 则 \[ C_f^{(1)}=(-iW)\int_0^t e^{i\omega_{fi}t'}dt'=\frac{W}{\omega_{fi}}(1-e^{i\omega_{fi}t}) \] 跃迁概率为 \[ P_f\approx |C_f^{(1)}|^2=\left[\frac{2W}{\omega_{fi}} \sin(\frac{\omega_{fi}t}{2})\right]^2 \] 在给定的时间\(t\)内, \(\omega_{fi}\)越大, 跃迁概率越小. 相当于一个不确定关系 \[ \omega_{fi}=\Delta E_{fi}\sim\frac{2\pi}{t} \] 只有在这个范围内的能量差才具有足够有效的跃迁概率. 这个不确定关系也可以从能量守恒的角度表述: 常微扰在阶跃处表现为驱动, 因此\(t\)比较小时, 驱动离此时较近, 允许较大程度的能量不守恒; \(t\)很大时, 微扰表现为常数而非驱动, 系统能量应该守恒, \(\Delta E\approx0\).

如果\(\omega_{fi}\)发生在能量简并态之间会如何? 此时把\(f\)改写为\(n\), 有 \[ P_n\approx W^2 t^2 \] 看起来概率会随着时间发散, 从而让微扰论失效. 如何规避这个难题? 考虑连续的简并态, 有 \[ P_{[n]}=\lim_{\epsilon\rightarrow0} \int_{E_n-\epsilon}^{E_n+\epsilon} \rho(E_n)dE\cdot\left[\frac{2W}{\omega_{ni}} \sin(\frac{\omega_{ni}t}{2})\right]^2 \] 其中, \([n]\)表示从初态\(i\)跃迁到具有\(E_n\)能量的一系列简并态. 通常我们更喜欢讨论跃迁率, 即单位时间转移的概率, 同时取长时间极限, 有 \[ w_{[n]}=\lim_{t\rightarrow+\infty} \frac{dP_{[n]}}{dt}=\lim_{t\rightarrow+\infty}\lim_{\epsilon\rightarrow0} \int_{\omega_{ni}t-\epsilon t}^{\omega_{ni}t+\epsilon t} \rho(E_n)d(\omega t)\cdot\frac{2W^2}{\omega t} \sin\omega t \] 很明显, \(\epsilon t\)是个未定式, 如果不严谨地交换极限序, 那么\(\pm\epsilon t\)能够覆盖全实轴, 则 \[ w_{[n]}\approx\lim_{\epsilon\rightarrow 0}2W^2\rho(E_n)\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin\omega t}{\omega t}d(\omega t)=2\pi W^2\rho(E_n) \] 在更普遍的框架下, 上式表为 \[ \boxed{w_{i\rightarrow[n]}=2\pi\overline{|W_{ni}|^2}\rho(E_n)} \] 称为 Fermi 黄金规则(Fermi golden rule).