中心势场(04)：时间反演算符

\(\newcommand{\P}{\mathcal{P}}\newcommand{\T}{\mathcal{T}}\newcommand{\braket}[2]{\langle{ #1 }|{ #2 }\rangle}\)本节将研究时间反演算符, 这是继宇称之后又一普遍存在的分立对称性操作. 实际上, 时间反演和中心势压根就没有关系, 波函数的时间反演可以放在任何地方讲述, 但涉及到自旋时, 算符的形式略有不同, 因此, 最好放在自旋之后一并叙述. 这里分有无自旋两种情形, 分类讨论时间反演算符的形式, 以及力学算符和量子态的变换性质.

经典力学和波函数的时间反演

可以从经典力学开始构建时间反演的概念. 经典的矢量力学对于单体运动的描述基于位矢\(\vec{r}\): \[ \ddot{\vec{r}}=-\frac{\nabla V(\vec{r})}{\mu} \] 这是任何保守力场的运动方程, 可以获得任意一个特解, 形如\(\vec{r}=\vec{f}(t)\). 很容易验证, \(\vec{r}=\vec{f}(-t)\)必然也是它的解. 这种操作, 可以理解为经典力学保守系统的时间反演操作, 只需要取\(t\rightarrow-t\)就完成了整个时间反演操作.

但到了量子力学就大不一样了, 对于一个无自旋粒子的波函数, 运动方程为 \[ i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=H\psi=(-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2\mu}+V(\vec{r}))\psi \] 它的解形式为\(\psi=\phi(\vec{r},t)\). 或许可以像经典情形那样, 直接取\(t\rightarrow-t\). 但是此处时间导数为一阶, 这样会相差一个负号. 正确的操作是, 注意到时间导数前面有虚数单位\(i\), 考虑共轭的另一个方程 \[ -i\hbar\partial_t\psi^*=H\psi^* \] 于是, 取\(\psi^*=\phi(\vec{r},-t)\)是符合的, 再取一次复共轭, 得到: \[ \phi(\vec{r},t)\rightarrow\phi^*(\vec{r},-t) \] 这才是波函数正确的时间反演操作.

当然, 可以把位置表象轻松地推广为态矢, 仍然考虑无自旋系统的态矢, 基于位置表象可知 \[ \braket{\vec{r}}{\phi(t)}\to\bra{\phi(-t)}\ket{\vec{r}} \] 这其实是一个很奇怪的操作, 因为这个变换是不保内积的. 如果假设尚未定义的时间反演算符也能由某个幺正算符\(U\)描述, 那么变换后的波函数为 \[ \braket{\vec{r}'}{\phi'}= \bra{\vec{r}}U^\dagger U\ket{\phi}=\bra{\vec{r}}\ket{\phi} \] 但是时间反演操作中 \[ \braket{\vec{r}'}{\phi'(t')}=\braket{\phi(-t)}{\vec{r}}\neq\braket{\vec{r}}{\phi(t)} \] 特别是, 如果采用 Heisenberg 表象, 所有态矢都不演化, 那么 \[ \braket{\vec{r}'}{\phi'}=\braket{\phi}{\vec{r}}=\braket{\vec{r}}{\phi}^* \] 时间反演并不保内积, 反而让内积取了复共轭.

Remark

这里所说的保内积可能令人感到疑惑. 一个简单的例子是宇称操作\(\P\), 一个波函数\(\phi(\vec{r},t)\)经过宇称操作后, 变为\(\phi(-\vec{r},t)\), 这两个值怎么可能相等呢?

需要阐明的是, 两者的比较对象不同. 上面所说的保内积, 不仅仅是态矢乘上了\(\P\), 位置本征态\(\bra{\vec{r}}\)也作用了\(\P^\dagger\)变成了\(\bra{\vec{r}'}\), 其中\(\vec{r}'=-\vec{r}\). 如果比较以下两个值: \[ \tilde{\psi}(\vec{r}',t')\text{ versus }\psi(\vec{r},t) \] 其中, \(\tilde{\psi}(\vec{r}',t')=\phi(-\vec{r}',t')\), 那么显然具有相等的性质. 换句话说, 对称变换保内积, 比较的内积未必是固定时空位置处的波函数值, 要知道, 时空本身也是受到变换的, 宇称就相当于反转了坐标轴, 改变了轴的手性.

反幺正算符和时间反演算符

为了准确地描述时间反演, 需要引入新的算符类型.

Def 复共轭算符

考虑算符\(K\), 对于右矢\(a\ket{\alpha}+b\ket{\beta}\), 作用形式为 \[ K(a\ket{\alpha}+b\ket{\beta})=a^*(K\ket{\alpha})+b^*(K\ket{\beta}) \]

它不再满足所谓的线性性, 而是"反线性"性: 在这个算符的作用下, 右矢中任何游离的系数提到左边时都会取一次复共轭. 当然, 可以通过重新规定基矢来让形式上略有区别, 但本质上是自洽的.

\(K\)对左边的作用是什么? 回答是, Dirac 符号本身就不适宜处理这类反线性算符, 并且它和常见算符的性质区别太大, 容易引起计算中的混淆. 不过可以提前透露性质: 不应该随意把本来作用于左边的\(K\)算符改到右边.

对于一个复共轭算符\(K'\), 可以把它当作一个变换, \(K'\ket{\alpha}\)可以简记为\(\ket{\tilde{\alpha}}\). 如果它还满足 \[ \langle\tilde{\beta}|\tilde{\alpha}\rangle=\braket{\beta}{\alpha} ^* \] 即内积在变换下也取复共轭, 则可以把它称为 反幺正算符. 反幺正算符之间可以相差任何幺正算符因子\(U\).

可以发现, 反幺正算符的定义满足此前时间反演操作所具备的一切性质, 但反幺正算符之间具有自由度, 允许\(K'=UK\)仍是反幺正的. 因此, 类似相位约定, 需要作出额外规定.

Def 无自旋的子 Hilbert 空间的时间反演算符

一个反幺正算符\(K\), 如果它还满足对位置本征态的操作不变, 即 \[ K\ket{\vec{r}}=\ket{\vec{r}} \] 则称之为 时间反演算符, 记作\(\T\).

各个算符的时间反演性质

下面可以在 Heisenberg 表象讨论各个算符怎么基于时间反演进行变换. 根据时间反演算符的定义, 有 \[ \T^{-1}\vec{x}\T=\vec{x} \] 即位置算符在时间反演下是偶的.

对于动量算符, 可以从波函数出发. 最好用的波函数是平面波, 即动量本征态 \[ \phi(x)=\braket{x}{p}=\exp(ipx) \] 这是剥离了时间变量的复振幅. 它的时间反演为 \[ \tilde{\phi}(x)=\phi^*(x)=\exp(-ipx) \] 即动量变为了\(-p\), 因此 \[ \T^{-1}\vec{p}\T=-\vec{p} \] 正则对易关系: \[ [x_i,\T^{-1} p_j\T]=\T^{-1}x_ip_j\T-\T^{-1}p_jx_i\T=-x_ip_j+p_jx_i \] 轨道角动量可以基于\(\vec{x}\times\vec{p}\)来实现. 可以这么计算: \[ \vec{x}\times\vec{p}\T=-\vec{x}\T\times\vec{p}=-\T\vec{x}\times\vec{p} \] 两边乘以\(\T^{-1}\), 可以知道 \[ \T^{-1}\vec{L}\T=-\vec{L} \] 更快的方法是取一个被限制在圆环上转动的粒子, 角动量本征态为\(\phi(\theta)=\exp(iL_z\theta)\). 基于动量角度考虑, 也可以写成\(\phi(s)=\exp(ip_\theta\cdot s)\), 即角向动量乘以圆弧长度. 取时间反演, 角向动量反向, 再按照角动量定义, 可知轨道角动量也反向.

最后, 研究一个无自旋的 Hamiltonian: \[ H=\frac{p^2}{2\mu}+V(\vec{r}) \] 动能项对时间反演是偶的, 这是因为\(\T^{-1}p^2\T=\T^{-1}\vec{p}\T\cdot\T^{-1}\vec{p}\T\); 而势能项对于时间反演也是偶的, 因为\(\vec{r}\)有这种性质. 最终给出一个不含时 Hamiltonian 的性质: \[ \T^{-1}H\T=H \] 不应把它理解为一切 Hamiltonian 所具有的性质, 因为没有理由认为所有系统的演化都是反演不变的, 势能函数含时的量子系统有点类似非保守(例如带驱动)的经典系统.

当然, 时间演化算符就会取奇了, 因为\(U(\tau)=\exp(-iH\tau)\); 而空间平移和转动会取偶.

自旋态的时间反演

自旋在此前已经体现出了相当奇特的性质. 例如, 在转动下, 如果考察自旋角动量算符, 则它的性质与轨道角动量无异; 但当目光投向半整数自旋态, 则这种态在\(2\pi\)转动下竟然多了一个负号!

另外, 从大数极限的角度讲, 大量自旋在宏观上表现为磁矩, 可以基于 Maxwell 方程证明磁矩对时间反演是奇的(从略), 那么自旋算符应该也是奇的, 这和轨道角动量是一样的: \[ \T^{-1}\vec{S}\T=-\vec{S} \] 但对自旋态来说, 应当特别小心. 自旋的反演性质其实有个问题: 时间反演算符的所有定义都是基于位形的 Hilbert 空间的, 并没有延拓到自旋态的空间. 如果作延拓, 实际上就有总的反幺正算符: \[ K=K_{r}\otimes K_s \] 无自旋情形下, \(K\)就是\(K_r\), 这部分已经被我们取了符号约定: \(K_r\ket{x}=\ket{x}\). 但现在粒子具有自旋, 相当于 \[ K(\ket{x}\otimes\chi_0)=\ket{x}\otimes (K_s\chi_0) \] \(\chi_0\)是待定的态, 作为约定, 可以规定一个自旋态在取复共轭算符之后不变, 也可以规定某个相因子.

自旋1/2系统的时间反演

作为示例, 可以考虑最简单的自旋1/2系统, 然后针对\(\ket{\uparrow}\)态, 复共轭算符\(K_s=+1\). 在这种情况下, 能否直接取\(\T=K\)? 下面很快就会发现矛盾. 一方面, 时间演化算符理应使得\(\vec{S}\)具有奇性: \[ \T S_z=-S_z\T \] 另一方面, 如果\(\T=K\), 那么\(\T\ket{\uparrow}=\ket{\uparrow}\). 但是插入\(S_z\)就发生了变化: \[ \T S_z\ket{\uparrow}=-S_z\T\ket{\uparrow}=-S_z\ket{\uparrow}=-\frac{1}{2}\ket{\uparrow} \] 而\(\T S_z\)作用到\(\ket{\uparrow}\)上, \(S_z\)直接取本征值\(1/2\), 是实数, 可以直接拿到\(\T\)左边: \[ \T S_z\ket{\uparrow}=\frac{1}{2}\T\ket{\uparrow}=\frac{1}{2}\ket{\uparrow} \] 这样得到了两个矛盾的结果. 所以, 此时的\(\T\)不能取\(K\), 应该带一个待定的幺正算符因子\(\T=UK\).

可以考虑特定的自旋态\(\ket{\hat{n};+}\), 它表示\(\vec{S}\cdot\hat{n}\)的本征值为\(1/2\)的本征态, 则\(\ket{\hat{n};+}=D\ket{\uparrow}\), \(D\)矩阵把自旋从\(\hat{z}\)旋转到\(\hat{n}\)方向. 基于群的性质, 可以把单次转动分解为若干次转动, 而从\(\hat{z}\)旋转到\(\hat{n}\)可以看成两次转动: 首先从\(\hat{z}\)绕\(\hat{y}\)旋转\(\theta\)角到了\((\theta,\varphi)=(\theta,0)\)的位置; 然后从该位置绕着\(z\)轴旋转\(\varphi\). 因此 \[ \ket{\hat{n};+}=\exp(-iS_z\varphi)\exp(-iS_y\theta)\ket{\uparrow} \] 现在作用时间反演算符, 一方面, \(\T\)对\(\vec{S}\)具有翻转作用, 它的\(+1/2\)本征态应该给出\(-1/2\)本征态; 另一方面, \(\T=UK\), 并且可以与转动算符对易, 因此 \[ \ket{\hat{n};-}=\exp(-iS_z\varphi)\exp(-iS_y\theta)UK\ket{\uparrow}=\exp(-iS_z\varphi)\exp(-iS_y\theta)U\ket{\uparrow} \] 现在, 同样可以讨论\(\ket{\hat{n};-}\)怎么转动得到, 答案为 \[ \ket{\hat{n};-}=\exp(-iS_z\varphi)\exp(-iS_y(\pi+\theta))\ket{\uparrow} \] 因此可得 \[ U=\exp(iS_y\theta)\exp(-iS_y(\pi+\theta))=\exp(-iS_y\pi) \]

Def 自旋态的时间反演算符

自旋态的时间反演算符略有不同, 取为 \[ \T=\exp(-iS_y\pi)K \] 此处,\(K\)就是之前定义过的、对\(\ket{x}\)作用不改变态矢的反幺正算符.

应当记得\(\exp(-i\vec{S}\cdot\hat{n}\epsilon)=\mathbb{1}\cos\frac{\epsilon}{2}-2i\vec{S}\cdot\hat{n}\sin\frac{\epsilon}{2}\). 于是特别地, 自旋1/2系统的时间反演算符为 \[ U=-2i S_y\Rightarrow \boxed{\T=-i\sigma_y K} \]

这就是自旋1/2系统中的\(\T\)的形式, 可以用二分量旋量的形式方便地考察 \[ \T\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0 \end{pmatrix}K\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\beta^*\\-\alpha^*\end{pmatrix} \] 现在, 连续作用两次, 可得 \[ \T^2\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=\T\begin{pmatrix}\beta^*\\-\alpha^*\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\alpha\\-\beta\end{pmatrix} \] 这是一个很令人震惊的结果. 我们再次看到自旋1/2系统的奇特性质(实际上能够推广到所有半整数自旋). 连续反演时间两次, 得到的不是原来的态, 而是附加了一个负号!

普遍的自旋态反演规律

退回到一般自旋态, 则时间反演算符为 \[ \T=\exp(-iS_y\pi)K \] 它展开为\(-2iS_y\)乃至\(-i\sigma_y\)都是自旋1/2系统的专利, 一般就应该这么写. 现在取任意自旋态\(\ket{\chi}\), 有 \[ \begin{aligned} \T\ket{\chi}&=\exp(-iS_y\pi)K\sum_{s_z}\braket{s,s_z}{\chi}\ket{s,s_z} \\&=\sum_{s_z}\braket{\chi}{s,s_z}K\exp(-iS_y\pi)\ket{s,s_z} \end{aligned} \] 关于\(U\)的作用, 可以考虑如下 Baker-Hausdorff 公式 \[ \exp(iS_y\pi)S_z\exp(-iS_y\pi)=S_z\cos\pi+S_x\sin\pi=-S_z \] 因此, \(\exp(-iS_y\pi)\ket{s,s_z}\)相当于\(\ket{s,-s_z}\), 跃迁矩阵元为\((-1)^{s-s_z}\). 最终为 \[ \T\ket{\chi}=\sum_{s_z}(-1)^{s-s_z}\braket{\chi}{s,s_z}K\ket{s,-s_z} \] 仍依赖于\(K\ket{s,s_z}\)的相位选取. 但是, 如果再作用一次, 有 \[ \T^2\ket{\chi}=\sum_{s_z}(-1)^{s-s_z}\braket{s,s_z}{\chi}K^2(-1)^{s+s_z}\ket{s,s_z}=(-1)^{2s}\ket{\chi} \] 这其实依赖于\(\ket{\chi}\)是\(S^2\)的本征态, 对于自旋这总是成立的, 因为不考虑粒子种类改变, 自旋的值不变; 但是推广为角动量\(J^2\)时, 可能具有不同的\(j\), 如果能确认系统处在\(j\)本征态, 则也是\(\T^2\)的本征态, 本征值为\((-1)^{2j}\). 当\(j\)为整数时, 给出人们熟知的\(+1\); 当\(j\)为半整数时, 给出\(\T^2=-1\).