中心势场(03)：Coulomb 势与简谐势的对偶性

本节讨论已经解析求解的 Coulomb 势和简谐势的对称性. 下面将看到, Coulomb 势基于束缚态中具有特定能量 E 的简并子空间, 可以构造 SO(4) 的 Lie 代数; 而三维各向同性谐振子, 利用其阶梯算符可以构造 SU(3) 的 Lie 代数. 它们都具备超出角动量守恒引入的 SO(3) 对称性. 最后的对偶性基于映射, 把两者的径向方程和能级公式联系起来.

三维氢原子的对称性\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\)

由于上节同时讲了三种氢原子能级解法, 过于冗长, 所以关于氢原子对称性的评述留待本节讨论, 空间点群的操作是包含反演的, 这里不予考虑, 只研究特殊群.

众所周知, 对于一般的中心势场\(V(r)\), 它只能带来轨道角动量守恒. 而轨道角动量\(\vec{L}\)对应的对称性是\(\text{SO}(3)\)群; 而特别地, 如果取为 Coulomb 势, 则不仅有角动量守恒, 还有 Runge-Lenz 矢量守恒. 两个算符的对易关系上节已经给出: \[ [L_a,L_b]=i\hbar\epsilon_{abc}L_c\quad[L_a,N_b]=i\hbar\epsilon_{abc}N_c\quad[N_a,N_b]=i\hbar\epsilon_{abc}L_c \] 当我们考虑一个\(n\)维空间的转动时, 可以把有限转动表述为\(n\times n\)的实正交矩阵, 而无穷小转动的生成元对应一系列无迹反对称矩阵. \(n\times n\)无迹反对称矩阵具有\(n(n-1)/2\)个独立分量, 这也正是\(n\)维空间独立的转动生成元的个数. 上述\(L,N\)数目上恰好是\(4\)维空间的生成元. 如果把它们重新整理为\(4\times4\)无迹反对称的矩阵元 \[ T_{0,1\sim3}=N_{1\sim3}\quad T_{12}=L_3\quad T_{13}=-L_2\quad T_{23}=L_1 \] 并且\(T_{ab}=-T_{ba}\). 应当注意到这个张量的符号约定与电磁场张量极其类似. 现在, 所有的对易关系都可以统一用四维语言描述了: \[ [T_{ab}, T_{cd}] = i\hbar(\delta_{ac} T_{bd} - \delta_{ad} T_{bc} - \delta_{bc} T_{ad} + \delta_{bd} T_{ac}) \] 计算结果无可争议地表明: 这是一个\(\text{SO}(4)\)群的 Lie 代数.

实际上, 为了解出能级, 还引入了两个辅助的"类角动量": \[ \begin{cases} \displaystyle\vec{F}=\frac{\vec{L}+\vec{N}}{2} \\\displaystyle \vec{G}=\frac{\vec{L}-\vec{N}}{2} \end{cases}\Rightarrow [F_a,F_b]=i\hbar\epsilon_{abc}F_c\quad [G_a,G_b]=i\hbar\epsilon_{abc}G_c\quad[F_a,G_b]=0 \] \(\vec{F}\)和\(\vec{G}\)都允许半整数量子数, 并且相互独立, 因此从\(\vec{F}\)和\(\vec{G}\)来看, 这是一个\(\text{SU}(2)\times\text{SU}(2)\)群的 Lie 代数. 这里再次体现出同构的 Lie 代数不意味着同构的 Lie 群. 实际上, \(\text{SU}(2)\times\text{SU}(2)\)群同构于\(\text{Spin}(4)\), 而后者是\(\text{SO}(4)\)的覆盖群.

二维氢原子的对称性

这里对二维氢原子稍加讨论, 假设实空间只有\(x,y\)轴, 但仍把这个物理空间嵌入三维空间以便讨论. 现在, 角动量的方向是唯一的, 而 R-L 矢量一定处在平面内: \[ \vec{L}=L_z\hat{e}_z\quad\vec{N}=N_x\hat{e}_x+N_y\hat{e}_y \] 如果\(\vec{L},\vec{N}\)的对易关系仍满足, 只是需要退化到上述方向, 那么有 \[ [L_z,N_x]=i\hbar N_y\quad [L_z,N_y]=-i\hbar N_x\quad [N_x,N_y]=i\hbar L_z \] 可见, \(N_x,N_y\)与三维空间本该存在的\(L_x,L_y\)从代数上讲无甚差别, 它们和\(L_z\)的关系同样满足\(\text{SO}(3)\)群的 Lie 代数, 二维氢原子具备\(\text{SO}(3)\)对称性. 实际上, 可以证明更高维的氢原子具有\(\text{SO}(n+1)\)对称性, \(n\)是维数.

三维各向同性谐振子的对称性

平方正比的势场也具有特殊性. 如果对突然提到简谐势感到疑惑, 不妨回忆经典力学的 Bertrand 定理, 它指出, 服从幂律的力场的有界轨道未必闭合, 除非力场是平方反比的或者一次正比的. 两种势场都具有某种更高的对称性, 这促使我们研究三维各向同性谐振子, 以期找到高于\(\text{SO}(3)\)的对称性.

在直角坐标上写出 Hamiltonian \[ H=\hbar\omega(\frac{3}{2}+a^\dagger_xa_x+a_y^\dagger a_y+a^\dagger_za_z) \] 其中, 产生-湮灭算符的对易关系类似 boson: \[ [a_j,a_k^\dagger]=\delta_{jk}\quad[a_j,a_k]=[a_j^\dagger,a_k^\dagger]=0 \] 在直角坐标下, 我们曾经选用量子数\(n_x,n_y,n_z\), 从数学物理方程上, 是分离变量的结果; 从算符的角度讲, 说明三个方向的粒子数算符\(a^\dagger_ja_j\)都与\(H\)对易, 这已经给出了不同于角动量的三个守恒的标量算符.

进一步, 取不同下标的产生算符和湮灭算符\(a_{j}^\dagger a_k\), 可得 \[ [a_j^\dagger a_k,\frac{H}{\hbar\omega}]=\sum_{l}[a_j^\dagger a_k,a_l^\dagger a_l]=\sum_l a_j^\dagger\delta_{kl}(-a_k)+\delta_{jl}a_{j}^\dagger a_k=0 \] \(a_j^\dagger a_k\)相当于\(3\times3\)的守恒量矩阵, 但它们并不是和角动量独立的, 可以考察如下算符 \[ a_x^\dagger a_y=\frac{\mu\omega}{2\hbar}\left(x-\frac{ip_x}{\mu\omega}\right)\left(y+\frac{ip_y}{\mu\omega}\right)=\frac{\mu\omega xy}{2\hbar}+\frac{p_xp_y}{2\hbar\mu\omega}+\frac{ixp_y-iyp_x}{2\hbar} \] 如果把\(a_x^\dagger a_y\)和\(a_xa^\dagger_y\)作差, 就能得到纯粹的角动量部分: \[ \hbar(a_x^\dagger a_y-a_xa_y^\dagger)=iL_z \] 因此, 角动量并不独立, 会归入\(3\times3\)矩阵.

此外, 这个守恒量矩阵的迹为\(\sum_{l}a^\dagger_la_l\), 实际上就是\(H\). 如果算入能量, 那么守恒量矩阵有\(9\)个独立分量, \(9\)个生成元构成\(\text{U}(3)\)对称性. 但这个迹的自由度通常会被拿掉, 得到\(8\)个生成元, 此时的代数结构恰好是\(\text{SU}(3)\)群的 Lie 代数.

二维各向同性谐振子的对称性

此时, 存在的升降算符有\(4\)个, 定义 \[ S_1=\frac{\hat{a}_x^\dagger\hat{a}_y+\hat{a}_y^\dagger\hat{a}_x}2\quad S_2=\frac{i(\hat{a}^\dagger_y\hat{a}_x-\hat{a}^\dagger_x\hat{a}_y)}2\quad S_3=\frac{\hat{a}_x^\dagger\hat{a}_x-\hat{a}_y^\dagger\hat{a}_y}2 \] 可以求得 \[ [S_3,S_1]=iS_2\quad [S_2,S_3]=iS_1\quad [S_1,S_2]=iS_3 \] 正是\(\text{SU}(2)\)的 Lie 代数生成元.

氢原子和谐振子的对偶性

前面我们发现, 三维的氢原子和各向同性谐振子都具有高于\(\text{SO}(3)\)的对称性(\(\text{SO}(4)\)和\(\text{SU}(3)\)). 是否存在某种映射将两个特殊的中心势联系起来?

先将两者的径向方程写出 \[ \begin{aligned} \begin{cases}\displaystyle \frac{d^2 u(\rho)}{d\rho^2}+\left(\varepsilon-K^2\rho^2-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right)u(\rho)=0 \\\\\displaystyle \frac{d^2 u(\rho)}{d\rho^2}+\left(\varepsilon+\frac{2Z}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2} \right) u(\rho)=0 \end{cases}\end{aligned} \] 这里\(K^2\)是标记势能强度的参量, 可以想象特征长度固定为某个值, 但势能被放缩为\(\mu K^2\omega^2r^2/2\).

现在针对 Coulomb 势的径向方程, 取这样的变换: \[ \rho=\xi^2\quad u(\rho)=\xi^\nu v(\xi) \] 把关于\((\rho,u(\rho))\)的方程用\((\xi,v(\xi))\)来表示. 得到 \[ \frac{d^2 v(\xi)}{d\xi^2}+\frac{2\nu-1}{\xi}\frac{dv(\xi)}{d\xi}+\left(8Z+4\varepsilon \xi^2 -\frac{4l^2+4l+2\nu-\nu^2}{\xi^2} \right) v(\xi)=0 \] 为了消去一阶导, 待定的幂系数\(\nu=1/2\): \[ \frac{d^2 v(\xi)}{d\xi^2}+\left(8Z+4\varepsilon \xi^2 -\frac{(2l+\frac{1}{2})(2l+\frac{3}{2})}{\xi^2} \right) v(\xi)=0 \] \(v(\xi)\)满足的方程与简谐势径向方程结构完全一致. 用\(h\)标记简谐量, \(c\)标记 Coulomb 量. 那么对应关系为 \[ \varepsilon_h\rightarrow8Z\quad {K_{h}}^2\rightarrow-4\varepsilon_c\quad l_h\rightarrow 2l_c+\frac{1}{2} \] 假设人们已经知道, 简谐势径向方程的截断条件为\(\varepsilon_h=(4q+2l_h+3)K_h\), 全部代换成 Coulomb 参量: \[ 8Z=(4q+4l_c+4)\sqrt{-4\varepsilon_c}\Rightarrow\varepsilon_c=-\frac{Z^2}{(q+l_c+1)^2} \] 其中, \(q\)允许取遍自然数, 因此\(q+l_c+1\)允许取遍正整数.

基于径向方程的对偶性, 知道简谐势的能级, 就可以推断出 Coulomb 势的能级, 反过来亦然.