中心势场(01)：问题引入与简谐势示例

在自然界中, 广泛碰到物体在中心势场中运动的问题. 例如, 地球在太阳的万有引力场中的运动, 电子在原子核的 Coulomb 场中的运动等. 无论在经典力学中或在量子力学中, 中心势场问题都占有特别重要的地位.

三维中心势场的运动方程\(\newcommand{\K}{\mathbb{K}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1 \right)}\newcommand{\dim}[1]{\text{dim}\left(#1 \right)}\newcommand{\diag}[1]{\text{diag}\left(#1 \right)}\newcommand{\det}[1]{\text{det}\left(#1 \right)}\newcommand{\Det}[1]{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}\newcommand{\set}[1]{\left\{ #1 \right\}}\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}\newcommand{\norm}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\)

中心势在经典力学中已经得到充分定义. 一个定义在全空间(高于一维, 常见维数为\(2\)或\(3\))的势场\(V(\vec{r})\), 如果它和位矢的取向无关, 只和位矢的模有关, 即\(V(\vec{r})=V(r)\), 则称作 中心势 (也叫有心势). 考虑三维中心势场中有一个粒子, 则定态 Schrodinger 方程为 \[ -\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2\psi +V(r)\psi=E\psi \] 使用分离变量法: \(\psi(\vec{r})=R(r)\Theta(\hat{n})\), 运动方程分解为径向和球面两个部分: \[ \begin{aligned} -\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial R}{\partial r} \right)+(V(r)-E)r^2R&=-\frac{\hbar^2}{2\mu}\lambda_{lm}R \\ -\frac{\hbar^2}{2\mu\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\frac{\partial\Theta}{\partial\theta})-\frac{\hbar^2}{2\mu\sin^2\theta}\frac{\partial^2\Theta}{\partial\varphi^2}&=\frac{\hbar^2\lambda_{lm}}{2\mu}\Theta \end{aligned} \] 应该指出的是, 球面部分正是连带 Legendre 方程, 它仅在\(\lambda_{lm}=l(l+1),l=0,1,\cdots\)这种特殊值时取物理的解\(Y_l^m(\hat{n})\), 即球谐函数, 球谐函数和角动量本征值是上一章已经详细讨论过的, 此处不再赘述, 总而言之, 三维有心势场问题的球面已经得到解决, 只需要根据各种势的形状求解径向方程就好了.

从数学上, 现在有三个本征值记号: \(E,l,m\); 从物理上, \(H,L^2,L_z\)两两对易, 构成力学量完全集, 而径向方程涉及到\(E\)和\(l\), 因此, 结果需要用\(n\)和\(l\)两个参数标定, 解可以记为\(R_{nl}\). 因此, 普适的结果为 \[ \psi(\vec{r})=\sum_{n,l,m} c_{nlm} R_{nl}Y_{lm} \] 系数\(c\)的模的平方和为\(1\)以确保\(\psi\)的归一化条件. 假设\(\psi\)处在某个本征态, 一个有限大球体内的概率: \[ P(0\sim r_0)=\int_0^{r_0}r^2drR_{nl}^*R_{nl} \] 其中已经算出\(Y_l^m\)的模方对立体角积分为\(1\). 经典粒子的径向由受力控制, 只要把动能中的\(L^2\)部分合并进\(V\)得到有效势能, 就实现了一维等效; 而量子力学中, 只把角动量替换为它的本征值, 得到的径向方程仍不像一维 Schrodinger 方程的形式, 波函数的径向部分也不表现为定义在一维\(r\)坐标轴上的波函数. 除非作如下等效: \[ R(r)=\frac{u}{r} \] 从此把\(u\)称为 径向波函数. 代入可得 \[ \frac{\partial R}{\partial r}=\frac{ru'-u}{r^2}\quad \frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial R}{\partial r}=ru'' \] 运动方程的径向部分变为 \[ -\frac{\hbar^2}{2\mu} ru''+(V(r)-E)ru=-\frac{\hbar^2}{2\mu}l(l+1)\frac{u}{r} \] 整理可得 \[ \frac{d^2u}{dr^2}=\left(\frac{2\mu(V(r)-E)}{\hbar^2}+\frac{l(l+1)}{r^2} \right)u \] 第二步是无量纲化. 假设系统具有特征长度\(a_0\), 令\(\rho=r/a_0\), \(\varepsilon=E/E_0=E/(\hbar^2/2\mu a_0^2)\), 则 \[ \frac{d^2 u(\rho)}{d\rho^2}+\left(\varepsilon-\frac{V(\rho)}{E_0}-\frac{l(l+1)}{\rho^2} \right) u(\rho)=0 \] 这个方程被称作 径向方程.

三维各向同性简谐势

所谓三维各向同性简谐势, 就是\(V=\frac{\mu\omega^2}{2}(x^2+y^2+z^2)\). 由于平方和为\(r^2\), 正好构成中心势. 该体系可以选取特征能量\(E_0=\hbar\omega/2\), 对应的特征长度\(a_0=\sqrt{\hbar/\mu\omega}\). 约化势能为 \[ \frac{V}{E_0}=\frac{\mu\omega}{\hbar}\cdot\frac{\hbar}{\mu\omega}\rho^2=\rho^2 \] 径向方程为 \[ \frac{d^2 u(\rho)}{d\rho^2}+\left(\varepsilon-\rho^2-\frac{l(l+1)}{\rho^2}\right)u(\rho)=0 \] \(u(\rho)\)在\(0\)和\(\infty\)附近可能存在一些奇异行为, 下面进行检验:

• \(0\)附近: \(u''\approx l(l+1)u/\rho^2\Rightarrow u\approx \rho^{l+1}\)
• \(\infty\)附近: \(u''\approx\rho^2 u\Rightarrow u\sim\exp(-\rho^2/2)\)

对于一般的\(u\), 可以设置级数解 \[ u(\rho)=\rho^{l+1}\exp(-\frac{\rho^2}{2})f(\rho)\quad f(\rho)=\sum_jc_j\rho^j \] 径向方程可以进一步整理为关于\(f(\rho)\)的方程 \[ (\varepsilon - 2l-3) \rho f + 2 (1 + l - \rho^2) f' + \rho f''=0 \] 代入级数形式可得 \[ \sum_{j=1}^{\infty}(\varepsilon-2l-3)c_{j-1}\rho^j + \sum_{j=0}^{\infty}2(l+1)(j+1)c_{j+1}\rho^j-\sum_{j=2}^\infty2(j-1)c_{j-1}\rho^{j}+\sum_{j=1}^\infty j(j+1)c_{j+1}\rho^j=0 \] 挑选出同阶项的系数: \[ \begin{aligned} \begin{cases} c_1=0& j = 0 \\\\ (2l+2+j)(j+1)c_{j+1}+(\varepsilon-2l-2j-1)c_{j-1}=0\qquad &j\ge1 \end{cases} \end{aligned} \]

级数项分析

先考虑奇数项的递推公式为 \[ c_{2q+1}=\frac{4q+2l-\varepsilon+1}{2(2q+1)(q+l+1)}c_{2q-1}\quad q\ge1 \] 分母不可能取\(0\), 因此递推公式总是低阶项乘以一个为\(0\)或者正常大小的数, 从\(c_1=0\)开始向上递推, 每一项都是\(0\). 因此, 只需要考虑\(c\)取偶数下标的结果. 对于偶数下标\(c_{2q}\), 可以得到 \[ (2q+2)(2l+3+2q)c_{2q+2}+(\varepsilon-4q-2l-3)c_{2q}=0\quad q\ge0 \] 当\(q\gg1\)时, 大致有 \[ c_{2q+2}\approx\frac{1}{q}c_{2q}\Rightarrow c_{2q}\approx\frac{c_0'}{q!} \] 那么\(f\)的偶数次项为\(c_0'(\rho^2)^q/q!\), 经过求和, 会以\(\exp(\rho^2)\)的速率发散, 从而\(u\sim \exp(\rho^2/2)\)发散, 这是非物理的, 物理的解要求无穷远处波函数收敛为\(0\). 因此, 全部的偶数项非零是不合法的.

有一个避免发散灾难的方法是, 在某一个递推式时, 分式取\(0\), 那么更高阶的项就全部取\(0\)了, 则 \[ \varepsilon=4q+2l+3\Rightarrow E=(2q+l+\frac{3}{2})\hbar\omega\quad q=0,1,\cdots \] \(q,l\)都允许取遍全体自然数, 因此, 如果用\(n=2q+l\)标记能级, 则\(n\)也取遍自然数. 简并度经过计算可以得出为\(\mathcal{N}_n=(n+1)(n+2)/2\). \[ \boxed{E_n=(n+\frac{3}{2})\hbar\omega\quad \mathcal{N}_n=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\quad n=0,1,\cdots} \]

直角坐标解

在直角坐标中分离变量对于该势场而言方便得多, 因为\(V(r)=V(x)+V(y)+V(z)\), 分离变量后的三个方程都是一维简谐势场的运动方程. 这样, 可以得到 \[ \psi_{n_x,n_y,n_z}(\vec{r})=\phi_{n_x}(x)\phi_{n_y}(y)\phi_{n_z}(z) \] 其中, \(\phi_{n_x}(x)=\bra{x}\ket{n_x}\), 是一维简谐势的第\(n_x\)激发态. 于是, 能量为 \[ E(n_x,n_y,n_z)=(n_x+n_y+n_z+\frac{3}{2})\hbar\omega \] 如果把三个量子数之和写为\(n\), 则能量本征值与之前的解并没有区别.

现在需要统计\(n\)能级的简并度 \[ \mathcal{N}_n=\sum_{n_x=0}^{n}\sum_{n_y=0}^{n-n_x}1=\sum_{n_x=0}^{n}(n-n_x+1)=(n+2)(n+1)/2 \] 直角坐标和球坐标只是不同的表象, 它们解出的波函数的本征值和简并度完全相同. 对于各向同性谐振子势, 直角坐标的结果能够更快地得到; 如果进一步改为各向异性势(但仍只有\(x_jx_j\)项), 则甚至不是中心势了, 远远不如直角坐标方便.