线性方程组与本征值问题(09)：实对称矩阵的本征值求法
本节针对实对称矩阵这一特殊形式, 讨论其本征值如何求解. 任何一本线代教材都会提到实对称矩阵的对角化方案, 本文的求解办法就从这里开始.
线性方程组与本征值问题(07)：非标准的 QR 算法
前一篇笔记给出了任意方矩阵的 Hessenberg-Householder 约化方法, 即如何把任意方矩阵变换为上 Hessenberg 矩阵; 这一节中讨论如何对上 Hessenberg 矩阵进行 QR 分解, 它具有什么样的优势, 并引入shifted-QR 算法解决非对角元收敛过慢的问题.
线性方程组与本征值问题(06)：Householder 变换和 Hessenberg 约化
Householder 变换
\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\mdl}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\)考虑一个矢量\(\bi{v}\in\R\), 构造一个反射矩阵 \[
\b{P}_{\bo
线性方程组与本征值问题(05)：原始的 QR 算法
对于矩阵的谱, 有几种求法:
解特征多项式
任何一本线代教材都会讲到的对角化手续
...
第一种方法求方程的数值解, 原则上需要迭代; 第二种不一定适用,
因为矩阵未必能够对角化.
是否可以找到一个求一般矩阵的本征值的"直接解法"呢?
很不幸的是, 这一点原则上是不可能的.
假设存在一个有限步骤的所谓"直接算法",
即通过有限多次的初等代数运算就可以获得一般矩阵的本征值,
线性方程组与本征值问题(04)：本征值问题的一般描述
\(\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1
\right)}\newcommand{\
线性方程组与本征值问题(03)：三对角矩阵
所谓 三对角矩阵, 是指形如 \[
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}
a_1 & c_1
\\
b_2 & a_2 & c_2
\\
& \ddots & \ddots & \ddots
\\
& & b_{n-1} & a_{n-1} & c_{n-1}
\\
& &a