系综理论(02)：微正则系综
等概率原理和状态数的计算
微正则系综考虑的是\(\rho_{eq}\)分段取常数的情况, 宏观上,
这样的系统通常是孤立系统, 即能量和粒子数与外界都不交换的系统.
从能量守恒可以得知, 代表点必然处在等能曲面上 \[
\rho_{eq}=0\ ,\ 除非 E\le H(q,p)\le E+\Delta
\] 其中的\(\Delta\)是给等能曲面加的一个展宽,
因为宏观的总能量\(E
系综理论(01)：相空间和概率密度
基本概念
我们首先讨论一个经典多自由度的描述方法. 一个包含\(N\)个全同粒子的经典系统可以用一个
相空间(phase space)去描述, 相空间的坐标为正则坐标,
即全体广义坐标\(\{\vec{q}_i\}\)和广义动量\(\{\vec{p}_i\}\)(\(i=1,2,\cdots,N\)).
系统任意时刻的运动状态可以用相空间中的一个点描述, 称为
代表点, 代表点随着时间演
线性方程组与本征值问题(07)：非标准的 QR 算法
前一篇笔记给出了任意方矩阵的 Hessenberg-Householder 约化方法, 即如何把任意方矩阵变换为上 Hessenberg 矩阵; 这一节中讨论如何对上 Hessenberg 矩阵进行 QR 分解, 它具有什么样的优势, 并引入shifted-QR 算法解决非对角元收敛过慢的问题.
线性方程组与本征值问题(06)：Householder 变换和 Hessenberg 约化
Householder 变换
\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\mdl}[1]{\left|\!\left|#1\right|\!\right|}\)考虑一个矢量\(\bi{v}\in\R\), 构造一个反射矩阵 \[
\b{P}_{\bo
线性方程组与本征值问题(05)：原始的 QR 算法
对于矩阵的谱, 有几种求法:
解特征多项式
任何一本线代教材都会讲到的对角化手续
...
第一种方法求方程的数值解, 原则上需要迭代; 第二种不一定适用,
因为矩阵未必能够对角化.
是否可以找到一个求一般矩阵的本征值的"直接解法"呢?
很不幸的是, 这一点原则上是不可能的.
假设存在一个有限步骤的所谓"直接算法",
即通过有限多次的初等代数运算就可以获得一般矩阵的本征值,
线性方程组与本征值问题(04)：本征值问题的一般描述
\(\newcommand{\b}{\mathbf}\newcommand{\bi}{\boldsymbol}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\C}{\mathbb{C}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\newcommand{\rank}[1]{\text{rank}\left(#1
\right)}\newcommand{\