本节将研究时间反演算符, 这是继宇称之后又一普遍存在的分立对称性操作. 实际上, 时间反演和中心势压根就没有关系, 波函数的时间反演可以放在任何地方讲述, 但涉及到自旋时, 算符的形式略有不同, 因此, 最好放在自旋之后一并叙述. 这里分有无自旋两种情形, 分类讨论时间反演算符的形式, 以及力学算符和量子态的变换性质.

本节讨论已经解析求解的 Coulomb 势和简谐势的对称性. 下面将看到, Coulomb 势基于束缚态中具有特定能量 E 的简并子空间, 可以构造 SO(4) 的 Lie 代数; 而三维各向同性谐振子, 利用其阶梯算符可以构造 SU(3) 的 Lie 代数. 它们都具备超出角动量守恒引入的 SO(3) 对称性. 最后的对偶性基于映射, 把两者的径向方程和能级公式联系起来.

量子力学发展史上, 最突出的成就之一是对氢原子光谱以及化学元素周期律给予了相当满意的说明. 氢原子是最简单的原子, 其能谱可以严格求解. 本节将从 Schrodinger 方程、阶梯算符和 Runge-Lenz 矢量三个方法来求解氢原子的能级.

在自然界中, 广泛碰到物体在中心势场中运动的问题. 例如, 地球在太阳的万有引力场中的运动, 电子在原子核的 Coulomb 场中的运动等. 无论在经典力学中或在量子力学中, 中心势场问题都占有特别重要的地位.

上节已经提出了不可约张量的新表象, 这种形式被称为球张量. 本节将论述如何使用直角坐标系中的矢量构造出它的球张量形式, 以及如何基于两个球张量构造新的球张量; 最后, 给出关于球张量性质的重要定理—— Wigner-Eckart 定理, 以及它的一些简单变形.

到现在为止, 标量、矢量等经典语言被不言而喻地拿来形容量子力学算符的性质. 本节将论述标量算符、矢量算符和推广的张量算符在转动下的不同性质, 它们常常基于直角坐标基矢写出矩阵元, 这样的表象与转动操作的实正交矩阵表象配合得很好; 但在量子力学中, 转动操作的表象常常取作 SU(2) 群的 spin-j 不可约表示, 在这样的表象下, 不可约张量不再适宜使用直角坐标表象, 而应该引入所谓的球张量语言

角动量加法在现代物理的所有领域——从原子光谱学到原子核与粒子碰撞都有重要的应用. 此外, 角动量加法提供了基于有限维 Hilbert 空间的两套完备基, 给出了一个很好的阐明态矢在基上变换的机会.

本节介绍自旋角动量. 自旋是一种满足角动量代数但不对应于经典角动量的力学量. 它表现出不同于轨道角动量的性质——允许其量子数取半整数. 基于最简单的自旋1/2系统, 介绍自旋算符和自旋态的转动性质, 引入 Pauli 算符和相应的 SU(2) 转动, 它与轨道角动量的 SO(3) 群都是描述三维转动的有力工具.

这一章关注角动量理论和相关论题的系统处理, 在现代物理中角动量理论的重要性怎么强调也不过分. 在分子、原子及核谱学中, 彻底理解角动量是极为重要的; 角动量的考虑不仅在散射和碰撞问题中, 也在柬缚态问题中起着重要的作用.

本节考虑三种对称性操作, 即时空平移和宇称, 前两者是连续对称操作, 而宇称是分立对称操作.